Ultimo aggiornamento: 2026-05-26

Derivata di un polinomio in un punto

La derivata di una funzione $P(x)$ in un punto $x_0$ è il limite del rapporto incrementale al tendere dell'incremento a zero:

$P'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{P(x_0 + h) - P(x_0)}{h}$

Geometricamente, $P'(x_0)$ è la pendenza della retta tangente alla curva nel punto $(x_0, P(x_0))$: descrive il tasso istantaneo di variazione del polinomio in quel punto. Quando la pendenza è positiva la funzione è localmente crescente; quando è negativa è localmente decrescente; quando è zero il punto è un possibile estremo (massimo o minimo locale).

Questo calcolatore applica la derivazione ai polinomi inseriti come lista di coefficienti, restituendo $P(x)$, $P'(x)$, i coefficienti del polinomio derivato e l'equazione della retta tangente, con grafico interattivo della curva e della tangente. La derivazione simbolica di funzioni arbitrarie (sin, exp, ln, ecc.) non è supportata.

La regola della potenza

Per i polinomi la derivata si calcola tramite la regola della potenza, applicata termine per termine:

$\frac{d}{dx}[a_n x^n] = n \cdot a_n x^{n-1}$

Applicata a un polinomio generico $P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$, la derivata diventa:

$P'(x) = n\,a_0\, x^{n-1} + (n-1)\,a_1\, x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$

Il termine costante scompare perché $\tfrac{d}{dx}[c] = 0$; il grado della derivata è quindi inferiore di uno rispetto al polinomio originale.

Esempio svolto

Consideriamo P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 (coefficienti: 1, -3, 2, 5) valutato in x = 2.

Passo 1 — calcola P(2) con il metodo di Ruffini–Horner:

$P(2) = ((1 \cdot 2 - 3) \cdot 2 + 2) \cdot 2 + 5 = 5$

Passo 2 — applica la regola della potenza termine per termine:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

Passo 3 — calcola P′(2):

$P'(2) = 3(4) - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

Passo 4 — scrivi l'equazione della retta tangente:

$y = P'(2)\,(x - 2) + P(2) = 2(x - 2) + 5 = 2x + 1$

La tangente tocca la curva nel punto (2, 5) con pendenza 2.

Come inserire i coefficienti

I coefficienti nulli per le potenze mancanti vanno inclusi esplicitamente. Per x⁴ − 1, i termini x³, x² e x¹ sono assenti, quindi l'input corretto è 1, 0, 0, 0, -1.

Coefficienti della derivata

Il calcolatore restituisce anche i coefficienti di P′(x) nello stesso formato alto → basso. Per P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{coefficienti: } 3, -6, 2$

Questi coefficienti possono essere reimmessi nel campo di input per calcolare la derivata seconda P″(x), oppure utilizzati nel calcolatore Risolutore di equazioni di secondo grado per trovare i punti critici di P, ossia i valori di x in cui P′(x) = 0.

Relazione con il tasso medio di variazione

Il calcolatore Calcolatore del tasso medio di variazione calcola la pendenza della retta secante tra due punti di una funzione — l'analogo discreto della derivata. Al tendere dei due punti l'uno verso l'altro, la pendenza della secante converge a P′(x₀). Questo passaggio dal rapporto incrementale $\Delta P / \Delta x$ al suo limite per $\Delta x \to 0$ è la definizione operativa su cui si fonda il calcolo differenziale.