Calcolatore del tasso medio di variazione

Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Tasso medio di variazione

Il tasso medio di variazione di una funzione f tra due valori x₁ e x₂ misura di quanto varia l'uscita per ogni unità di ingresso. Dati due punti (x₁, f(x₁)) e (x₂, f(x₂)), la formula è:

$\text{TMV} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta f}{\Delta x}$

Nei libri di testo italiani questa quantità è spesso chiamata rapporto incrementale della funzione nell'intervallo [x₁, x₂]. Geometricamente rappresenta la pendenza della retta secante che unisce i due punti del grafico: a differenza della pendenza di una retta, che è costante, il tasso medio di variazione dipende dall'intervallo scelto.

Esempio svolto

Una palla viene lanciata verticalmente verso l'alto dal bordo di un palazzo. La sua altezza in metri al tempo t (in secondi) è descritta da h(t) = −5t² + 20t + 2. Calcola il tasso medio di variazione tra t = 1 s e t = 3 s.

Passo 1 — calcola il valore della funzione ai due estremi:

$h(1) = -5(1)^2 + 20(1) + 2 = -5 + 20 + 2 = 17 \text{ m}$

$h(3) = -5(3)^2 + 20(3) + 2 = -45 + 60 + 2 = 17 \text{ m}$

Passo 2 — calcola Δh e Δt:

$\Delta h = 17 - 17 = 0 \text{ m}, \quad \Delta t = 3 - 1 = 2 \text{ s}$

Passo 3 — dividi:

$\text{TMV} = \frac{0}{2} = 0 \text{ m/s}$

Un tasso medio di variazione nullo significa che la palla ha la stessa altezza ai due istanti considerati: è salita e poi ridiscesa, tornando esattamente al punto di partenza. La velocità istantanea a t = 1 s e a t = 3 s non è zero (la palla si stava muovendo), ma in media la variazione netta di posizione è nulla su quell'intervallo.

Retta secante e retta tangente

	Retta secante	Retta tangente
Passa per	Due punti del grafico	Un solo punto del grafico
Pendenza uguale a	Tasso medio di variazione	Tasso istantaneo di variazione
Si calcola con	Δf / Δx	Derivata f′(x)
Richiede il calcolo?	No	Sì

Il tasso medio di variazione è un concetto pre-calcolo: bastano l'aritmetica e la definizione di pendenza. La retta tangente è il limite della retta secante quando i due punti si avvicinano fino a coincidere: al tendere di x₂ → x₁, la secante ruota progressivamente fino a toccare la curva in un unico punto.

Origine della formula

La formula discende direttamente dalla definizione di pendenza applicata a una funzione. Se si tracciano due punti qualsiasi su una curva e li si collega con una retta, la pendenza di quella retta è (variazione verticale) / (variazione orizzontale) = Δf / Δx. È la misura più semplice di "quanto velocemente" la funzione cambia tra due valori dell'ingresso. Risponde alla domanda: se conoscessimo solo il valore iniziale e quello finale, quale tasso costante produrrebbe la stessa variazione netta?

Collegamento al teorema di Lagrange

Il teorema del valor medio di Lagrange garantisce che, per qualsiasi curva sufficientemente regolare, il tasso medio di variazione su [x₁, x₂] viene effettivamente raggiunto dal tasso istantaneo in almeno un punto interno c all'intervallo:

$f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Ciò significa che la pendenza della secante non è solo un'approssimazione: esiste davvero un punto in cui la tangente ha quella stessa inclinazione. In pratica, questo è il motivo per cui la velocità media di un viaggio è uguale alla velocità istantanea in qualche istante lungo il percorso — un risultato che sembra ovvio ma che il teorema rende rigoroso.

Applicazioni nel mondo reale

• Fisica — velocità media: Se la posizione è s(t), allora TMV = Δs / Δt è la velocità media. Un corpo a 3 m al tempo t = 1 s e a 19 m al tempo t = 5 s ha velocità media (19 − 3) / (5 − 1) = 4 m/s.
• Economia — variazione del fatturato: Il tasso medio di variazione del ricavo rispetto alle unità vendute approssima il contributo di ciascuna unità aggiuntiva — una versione discreta del ricavo marginale. Se il fatturato di un'azienda passa da 120 000 € a 156 000 € in 3 mesi, la variazione media è (156 000 − 120 000) / 3 = 12 000 €/mese.
• Biologia — crescita di una colonia: Se una coltura batterica cresce da 500 a 1 200 unità in 3 ore, il tasso medio di variazione è (1 200 − 500) / 3 ≈ 233 batteri/ora.
• Chimica — velocità di reazione: La concentrazione di un reagente che scende da 0,80 mol/L a 0,20 mol/L in 40 minuti ha un tasso medio di variazione di (0,20 − 0,80) / 40 = −0,015 mol/(L·min): il segno negativo indica che il reagente viene consumato.

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la differenza tra tasso medio e tasso istantaneo di variazione?

Il tasso medio di variazione misura la variazione complessiva di una funzione su un intervallo — corrisponde alla pendenza della retta secante passante per due punti del grafico. Il tasso istantaneo di variazione è invece la pendenza della retta tangente in un singolo punto, e si ottiene calcolando il limite del rapporto incrementale quando l'ampiezza dell'intervallo tende a zero: questo limite è la derivata.

Per una retta i due valori coincidono sempre; per una curva differiscono a meno che l'intervallo non si riduca a un singolo punto.

Che cos'è il teorema del valor medio di Lagrange e come si collega al rapporto incrementale?

Il teorema del valor medio di Lagrange (o teorema di Lagrange) afferma che se una funzione è continua su [x₁, x₂] e derivabile su (x₁, x₂), allora esiste almeno un punto c nell'intervallo aperto (x₁, x₂) in cui la derivata — ovvero il tasso istantaneo di variazione — è uguale al rapporto incrementale medio: f'(c) = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁).

In altri termini, la pendenza della secante calcolata qui è raggiunta dalla tangente in qualche punto interno all'intervallo. È uno dei risultati fondamentali del calcolo differenziale, studiato in tutti i corsi di Analisi I.

Come si usa il tasso medio di variazione in fisica?

Quando la posizione è espressa come funzione del tempo, il tasso medio di variazione della posizione fornisce la velocità media: v̄ = Δs / Δt. Ad esempio, se un oggetto si trova a 3 m al tempo t = 1 s e a 19 m al tempo t = 5 s, la sua velocità media è (19 − 3) / (5 − 1) = 4 m/s.

Lo stesso principio si applica a qualsiasi grandezza: accelerazione media = Δv / Δt, corrente elettrica media = ΔQ / Δt (carica nel tempo), tasso di crescita medio di una popolazione = ΔN / Δt.

Il tasso medio di variazione può essere negativo?

Sì. Un tasso medio di variazione negativo significa che la funzione è diminuita sull'intervallo considerato, ossia f(x₂) < f(x₁). Ad esempio, se un'automobile rallenta da 90 km/h a 30 km/h in 6 secondi, il tasso medio di variazione della velocità è (30 − 90) / 6 = −10 km/h al secondo.

Il segno indica la direzione della variazione: positivo significa crescita, negativo significa decrescita, zero significa che in media la funzione non è variata — anche se nel mezzo può aver oscillato.