Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Definizione

La sfera è il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso detto centro. Il volume misura lo spazio tridimensionale racchiuso dalla sfera; la superficie misura l'estensione della sua calotta. Dato il raggio r, il calcolatore ricava volume, superficie e diametro applicando le formule classiche di Archimede.

Formule

Per una sfera di raggio r:

Proprietà	Formula
Volume	V = (4/3)πr³
Superficie	A = 4πr²
Diametro	d = 2r

Origine del fattore (4/3)π

Archimede dimostrò attorno al 250 a.C. che una sfera occupa esattamente due terzi del volume del cilindro che la contiene (raggio r, altezza 2r). Poiché il volume del cilindro è 2πr³, quello della sfera è (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³.

Superficie come derivata del volume

La superficie è la derivata del volume rispetto a r. Togliendo uno strato infinitesimamente sottile di spessore dr, si ottiene dV/dr = 4πr². Archimede dimostrò anche che l'area di una sfera è uguale all'area laterale del cilindro circoscritto — risultato inciso sulla sua lapide.

Crescita cubica al variare del raggio

Poiché il volume cresce con r³, raddoppiare il raggio moltiplica il volume per 8. La tabella seguente riassume i fattori di scala:

Fattore del raggio	Fattore del volume	Fattore della superficie
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Un pallone da basket (r ≈ 12 cm) contiene circa 8 volte più aria di una pallina da tennis (r ≈ 6 cm), anche se visivamente sembra solo il doppio.

Esempi di calcolo

Esempio 1 — Pallone da calcio

Un pallone regolamentare ha una circonferenza di circa 68,5 cm, quindi r = 68,5 / (2π) ≈ 10,9 cm.

Volume: V = (4/3) × π × (0,109)³ ≈ 0,00542 m³ ≈ 5,42 litri
Superficie: A = 4 × π × (0,109)² ≈ 0,149 m² ≈ 1490 cm²

Esempio 2 — Serbatoio sferico

Un serbatoio d'acqua sferico con r = 2 m contiene:

V = (4/3) × π × 8 ≈ 33,51 m³ ≈ 33.510 litri

La superficie A = 4π × 4 ≈ 50,27 m² indica quanta lamiera va verniciata.

Esempio 3 — Trovare il raggio dal volume

Se una sfera ha esattamente 1 m³ di volume, il raggio è:

r = ∛(3V / (4π)) = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m (circa 62 cm)

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la formula del volume di una sfera?

Il volume di una sfera è V = (4/3)πr³, dove r è il raggio. Per esempio, una sfera con r = 5 cm ha V = (4/3) × π × 125 ≈ 523,6 cm³. La formula fu dimostrata da Archimede confrontando la sfera con il cilindro circoscritto.

Come si calcola la superficie di una sfera?

La superficie di una sfera è A = 4πr². Per r = 5 cm, A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314,2 cm². Archimede dimostrò che la superficie della sfera è uguale alla superficie laterale del cilindro circoscritto — risultato inciso sulla sua lapide.

Cosa succede al volume se si raddoppia il raggio?

Poiché il volume è proporzionale a r³, raddoppiare il raggio moltiplica il volume per 2³ = 8. Una sfera di r = 10 cm contiene otto volte il volume di una di r = 5 cm. Triplicando il raggio il volume cresce di 27 volte.

Come si ricava il raggio dal volume di una sfera?

Invertendo V = (4/3)πr³ si ottiene r = ∛(3V / (4π)). Per esempio, se V = 1 m³, allora r = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m.