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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Risolvere un sistema di equazioni lineari 3×3

Formula

a_1\, x + b_1\, y + c_1\, z = d_1
a_2\, x + b_2\, y + c_2\, z = d_2
a_3\, x + b_3\, y + c_3\, z = d_3

Dati di input

coefficiente di x, equazione 12
coefficiente di y, equazione 11
coefficiente di z, equazione 1-1
termine noto, equazione 18
coefficiente di x, equazione 2-3
coefficiente di y, equazione 2-1
coefficiente di z, equazione 22
termine noto, equazione 2-11
coefficiente di x, equazione 3-2
coefficiente di y, equazione 31
coefficiente di z, equazione 32
termine noto, equazione 3-3

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/system-of-equations-3x3

Matematica

Risolvere un sistema di equazioni lineari 3×3

Risolvi un sistema di tre equazioni lineari con la regola di Cramer. Inserisci i coefficienti di tre equazioni in x, y e z per ottenere la soluzione, oppure scopri se il sistema non ha soluzione unica.

Dati di input

a_1\, x + b_1\, y + c_1\, z = d_1
a_2\, x + b_2\, y + c_2\, z = d_2
a_3\, x + b_3\, y + c_3\, z = d_3

Risultati

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Nessuna soluzione unica

\begin{aligned} D &= a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3) \\ &= ? \end{aligned}

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Cosa fa questo strumento

Questo strumento risolve un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite, x, y e z:

a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3

A partire dai dodici coefficienti e termini noti, applica la regola di Cramer per restituire la soluzione unica (x, y, z), oppure segnala che il sistema non ha soluzione unica quando la matrice dei coefficienti è singolare.

Regola di Cramer per un sistema 3×3

La regola di Cramer esprime ogni incognita come rapporto di determinanti. Si calcola prima il determinante della matrice dei coefficienti:

D=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣=a1(b2c3−c2b3)−b1(a2c3−c2a3)+c1(a2b3−b2a3)D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)

Quando D ≠ 0, la soluzione unica è:

x=DxD,y=DyD,z=DzDx = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}

Ogni determinante al numeratore è il determinante dei coefficienti con una colonna sostituita dalla colonna dei termini noti (d₁, d₂, d₃):

Dx=∣d1b1c1d2b2c2d3b3c3∣,Dy=∣a1d1c1a2d2c2a3d3c3∣,Dz=∣a1b1d1a2b2d2a3b3d3∣D_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}

Discende direttamente dall’algebra lineare: per una matrice non singolare A, la soluzione di Av = d è v = A⁻¹d, e la regola di Cramer è quell’inversa scritta determinante per determinante.

Significato geometrico

Ogni equazione descrive un piano nello spazio tridimensionale. Risolvere il sistema equivale a trovare il punto in cui si incontrano i tre piani.

  • D ≠ 0 (soluzione unica): I tre piani si intersecano in esattamente un punto. La matrice dei coefficienti è invertibile.
  • D = 0 (nessuna soluzione unica): I piani non si incontrano in un solo punto. Condividono una retta comune (infinite soluzioni) oppure non hanno alcun punto in comune (nessuna soluzione). La regola di Cramer non può fornire una risposta unica in questo caso.

Esempio svolto

Risolviamo il sistema predefinito:

2x+y−z=8−3x−y+2z=−11−2x+y+2z=−32x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3

Passo 1 — determinante della matrice dei coefficienti:

D=2((−1)(2)−(2)(1))−1((−3)(2)−(2)(−2))+(−1)((−3)(1)−(−1)(−2))D = 2\big((-1)(2) - (2)(1)\big) - 1\big((-3)(2) - (2)(-2)\big) + (-1)\big((-3)(1) - (-1)(-2)\big) D=2(−4)−1(−2)+(−1)(−5)=−8+2+5=−1D = 2(-4) - 1(-2) + (-1)(-5) = -8 + 2 + 5 = -1

D ≠ 0, quindi esiste una soluzione unica.

Passo 2 — risolvere x (sostituire la colonna di x con i termini noti):

Dx=∣81−1−11−12−312∣=−2⇒x=−2−1=2D_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -11 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{-1} = 2

Passo 3 — risolvere y (sostituire la colonna di y con i termini noti):

Dy=∣28−1−3−112−2−32∣=−3⇒y=−3−1=3D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -11 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3}{-1} = 3

Passo 4 — risolvere z (sostituire la colonna di z con i termini noti):

Dz=∣218−3−1−11−21−3∣=1⇒z=1−1=−1D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & -1 & -11 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{-1} = -1

Verifica:

2(2)+3−(−1)=8✓−3(2)−3+2(−1)=−11✓−2(2)+3+2(−1)=−3✓2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark

Quando il determinante è zero

Se D = 0, le tre righe della matrice dei coefficienti sono linearmente dipendenti: un’equazione è combinazione delle altre. Sono possibili due esiti:

  • Infinite soluzioni: i termini noti sono compatibili con la dipendenza, perciò i piani condividono un’intera retta di punti comuni.
  • Nessuna soluzione: i termini noti contraddicono la dipendenza, perciò i piani non si incontrano mai in un punto.

La regola di Cramer si applica solo per D ≠ 0, ed è per questo che lo strumento segnala «nessuna soluzione unica» non appena D = 0. Per classificare con precisione il caso degenere, riduci la matrice completa con l’eliminazione di Gauss e confronta il rango della matrice dei coefficienti con quello della matrice completa.

Applicazioni

I sistemi lineari a tre variabili compaiono nei corsi di algebra e precalcolo, nell’analisi dei circuiti (leggi di Kirchhoff su tre maglie), nel bilanciamento delle reazioni chimiche e in qualsiasi situazione in cui tre condizioni lineari debbano valere contemporaneamente. La regola di Cramer fornisce una risposta diretta in forma chiusa, comoda per verificare un piccolo sistema o per esprimere una soluzione in modo simbolico.

Domande frequenti (FAQ)

Che cosa indica il determinante?

Il determinante D della matrice dei coefficienti stabilisce se il sistema ha una risposta unica. Quando D ≠ 0 i tre piani si incontrano in esattamente un punto, quindi x, y e z sono determinati in modo univoco. Quando D = 0 i piani sono disposti in modo da condividere un’intera retta oppure nessun punto comune, e la regola di Cramer non può restituire una sola soluzione.

In che cosa la regola di Cramer differisce dall’eliminazione?

L’eliminazione di Gauss e la sostituzione arrivano allo stesso risultato tramite operazioni sulle righe svolte passo dopo passo. La regola di Cramer scrive invece ogni incognita direttamente come rapporto di determinanti: x = Dₓ/D, y = D_y/D, z = D_z/D. È comoda per ottenere un’espressione in forma chiusa e per i sistemi da valutare in modo simbolico, anche se l’eliminazione è di solito più rapida per i sistemi più grandi.

Perché il mio sistema mostra «nessuna soluzione unica»?

Questo messaggio compare ogni volta che D = 0. Le tre equazioni sono allora linearmente dipendenti: almeno una è combinazione delle altre. A seconda dei termini noti, il sistema ha infinite soluzioni (i piani condividono una retta) oppure nessuna (i piani non si incontrano mai in un punto comune). La regola di Cramer si applica solo per D ≠ 0, perciò si ferma qui.

Come posso verificare la soluzione?

Sostituisci i valori ottenuti di x, y e z in tutte e tre le equazioni originali. Ogni primo membro dovrebbe risultare uguale al rispettivo secondo membro (d₁, d₂, d₃). Poiché la soluzione è calcolata da rapporti esatti di determinanti, un piccolo arrotondamento nei decimali mostrati è normale; i valori sottostanti soddisfano le equazioni con piena precisione.

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