Ultimo aggiornamento: 2026-06-23

Cosa calcola questo strumento

Questo calcolatore esegue un test t a due campioni a partire dalle statistiche riassuntive. Dati media, deviazione standard e numerosità campionaria di due gruppi indipendenti, restituisce la statistica t, i gradi di libertà e un valore p a due code, gli strumenti standard per decidere se due medie di gruppo differiscono più di quanto faccia il solo rumore di campionamento.

A quale domanda risponde un test t a due campioni

Si supponga che due gruppi producano medie diverse: un gruppo trattato e un gruppo di controllo, la versione A e la versione B, campioni provenienti da due stabilimenti. Le medie non saranno quasi mai identiche, anche quando i processi sottostanti sono gli stessi, semplicemente perché ogni campione porta con sé una variazione casuale. Il test t a due campioni pone una domanda precisa: se le due popolazioni avessero davvero medie uguali, quanto sorprendente sarebbe una differenza di questa entità? La risposta è il valore p.

La formula t di Welch

Questo calcolatore impiega il test t di Welch, che non assume che i due gruppi condividano una varianza comune. La statistica t è la differenza tra le medie divisa per l'errore standard di tale differenza:

dove $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ sono le medie campionarie, $s_1, s_2$ le deviazioni standard campionarie e $n_1, n_2$ le numerosità campionarie. Il denominatore è l'errore standard: cresce con la variabilità dei gruppi e diminuisce all'aumentare della dimensione dei campioni, così che la stessa differenza tra le medie diventa più convincente con più dati.

Perché Welch invece del test combinato (di Student)

Il classico test t di Student combina entrambe le deviazioni standard in un'unica stima della varianza, scelta corretta solo quando le due popolazioni hanno varianza uguale. La versione di Welch mantiene separate le due varianze, come mostra la formula precedente. Poiché nei dati reali varianze uguali sono l'eccezione più che la regola, il test di Welch è l'opzione predefinita raccomandata. Si comporta in modo quasi identico al test combinato quando le varianze coincidono e resta accurato quando non coincidono, in particolare quando i gruppi differiscono anche per dimensione.

Gradi di libertà (Welch–Satterthwaite)

Poiché le varianze non vengono combinate, la distribuzione di riferimento non possiede un numero intero semplice di gradi di libertà. Il test di Welch lo approssima con l'equazione di Welch–Satterthwaite:

Il risultato in genere non è un numero intero e si colloca tra il minore di $n_1 - 1$ e $n_2 - 1$ e la loro somma. Un numero minore di gradi di libertà dà alla distribuzione t code più pesanti, il che rende il test opportunamente più prudente con campioni piccoli o sbilanciati.

Il valore p e come interpretarlo

Una volta noti $t$ e $df$, il valore p a due code è

dove $F_t$ è la funzione di ripartizione della distribuzione t. Il fattore due e il valore assoluto conteggiano gli scostamenti in entrambe le direzioni: una media del gruppo 1 maggiore oppure una media del gruppo 2 maggiore.

Si confronta il valore p con un livello di significatività $\alpha$ scelto prima di osservare i dati, convenzionalmente 0,05:

• p < α — la differenza è statisticamente significativa; i dati forniscono prove contro l'uguaglianza delle medie.
• p ≥ α — i dati non forniscono prove sufficienti per rifiutare l'uguaglianza delle medie (il che non equivale a dimostrare che siano uguali).

Il valore p non è la probabilità che le medie siano uguali, e un risultato non significativo non è una prova di "nessuna differenza". Misura soltanto quanto i dati siano compatibili con l'ipotesi di medie uguali.

Esempio svolto

Il gruppo 1 ha media 10, deviazione standard 2 e 30 osservazioni; il gruppo 2 ha media 12, deviazione standard 2,5 e 30 osservazioni.

Con $p \approx 0.0012$, ben al di sotto di 0,05, la differenza tra le due medie di gruppo è statisticamente significativa.

Un valore p significativo dice che una differenza è rilevabile, non quanto sia grande. Conviene affiancarlo a una misura della dimensione dell'effetto come Calcolatore della d di Cohen, che esprime lo scarto tra le medie in unità di deviazione standard e non cresce con la numerosità campionaria.

Assunzioni

Il test t a due campioni si basa su alcune condizioni:

• Indipendenza — i due gruppi sono indipendenti e le osservazioni all'interno di ciascun gruppo sono indipendenti. Misure appaiate o ripetute richiedono invece un test per dati appaiati.
• Normalità approssimata — ciascun gruppo è distribuito in modo approssimativamente normale, oppure i campioni sono abbastanza grandi da rendere, per il teorema del limite centrale, la distribuzione campionaria della media approssimativamente normale. Con numerosità moderate e in assenza di forte asimmetria, il test è abbastanza robusto.
• Varianze diverse ammesse — la forma di Welch gestisce direttamente varianze diverse tra i gruppi, quindi non occorre verificare né assumere una dispersione uguale.

Il test t di Welch è da preferire come opzione predefinita per il confronto tra due medie. Quando la statistica del test è già uno z standardizzato anziché un insieme di statistiche riassuntive, il Calcolatore del valore p dal punteggio Z lo converte in un valore p usando la distribuzione normale.