Calcolo della media geometrica
Dati di input
| Valori positivi | 2, 8, 32 |
|---|
Risultati
| Media geometrica | 8 |
|---|---|
| Media aritmetica | 14 |
| Prodotto | 512 |
| Numero di valori | 3 |
Calcolo della media geometrica
Calcola la media geometrica, la media aritmetica e il prodotto di un insieme di valori positivi separati da virgola. Confronta le due medie e comprendi quando la media geometrica è la misura appropriata.
Dati di input
Risultati
Dettagli
Definizione
La media geometrica di n numeri positivi è la radice n-esima del loro prodotto. Per i valori x₁, x₂, …, xₙ, la media geometrica G vale:
G=(x1×x2×⋯×xn)1/nUna forma equivalente e numericamente stabile si basa sui logaritmi:
G=exp(nlnx1+lnx2+⋯+lnxn)Le due espressioni producono lo stesso risultato. La forma logaritmica evita però l'overflow in virgola mobile che può verificarsi quando il prodotto di molti valori grandi supera i limiti della rappresentazione numerica del calcolatore.
Formula e calcolo passo per passo
Per calcolare la media geometrica di un insieme di valori:
- Moltiplicare tutti i valori tra loro per ottenere il prodotto P.
- Estrarre la radice n-esima di P, dove n è il numero di valori.
In alternativa, con i logaritmi:
- Calcolare il logaritmo naturale di ciascun valore.
- Fare la media dei logaritmi.
- Esponenziare il risultato.
Il secondo metodo è preferito nei calcoli computazionali perché mantiene i valori intermedi in un intervallo sicuro.
Esempio numerico
Un fondo comune registra i seguenti rendimenti annui in tre anni consecutivi: +20%, −10%, +15%. I corrispondenti fattori di crescita sono 1,20, 0,90 e 1,15.
- Prodotto: 1,20 × 0,90 × 1,15 = 1,2420
- Media geometrica: 1,2420^(1/3) ≈ 1,0753
- Tasso annuo equivalente: 7,53%
- Media aritmetica dei fattori: (1,20 + 0,90 + 1,15) / 3 ≈ 1,0833, corrispondente all'8,33%
La media aritmetica sovrastima il rendimento sostenibile perché ignora l'interazione tra guadagni e perdite nella capitalizzazione composta. Partendo da 10.000 €, dopo tre anni si ottiene 10.000 × 1,2420 = 12.420 € — esattamente il risultato prodotto applicando ogni anno il tasso del 7,53%.
Quando usare la media geometrica
La media geometrica è la misura appropriata ogni volta che le quantità si combinano per moltiplicazione anziché per addizione.
Tassi di rendimento e fattori di crescita. In finanza, i rendimenti si compongono in modo moltiplicativo: un guadagno del 20% seguito da una perdita del 20% non restituisce il valore iniziale, ma l'87% di esso (1,20 × 0,80 = 0,96). La media geometrica cattura questa asimmetria; la media aritmetica no.
Indici di prezzo e rapporti. Quando si media su rapporti o indici con basi diverse, la media geometrica attribuisce lo stesso peso moltiplicativo a ciascuna categoria, evitando che i valori assoluti più grandi dominino il risultato.
Dati con distribuzione log-normale. Grandezze che coprono diversi ordini di grandezza — concentrazioni batteriche, magnitudo dei terremoti, distribuzione del reddito — sono spesso meglio descritte dalla media geometrica, che corrisponde alla mediana della distribuzione log-normale sottostante.
Una guida sintetica: per dati additivi (temperature, distanze, punteggi) si usa la media aritmetica; per dati moltiplicativi (fattori di crescita, indici di prezzo, rapporti tra grandezze) si usa la media geometrica.
La disuguaglianza MA-MG
Per qualsiasi insieme di numeri positivi, la media aritmetica è sempre maggiore o uguale alla media geometrica:
nx1+x2+⋯+xn≥(x1×x2×⋯×xn)1/nL'uguaglianza vale soltanto quando tutti i valori sono identici. Lo scarto tra le due medie aumenta con la variabilità dei dati: è quindi un indicatore della dispersione moltiplicativa dell'insieme.
La disuguaglianza MA-MG ha applicazioni in ottimizzazione, geometria e analisi matematica. Un'interpretazione geometrica elementare: tra tutti i rettangoli con perimetro fisso, il quadrato — con i due lati uguali — ha l'area massima. L'area è uguale alla media geometrica dei due lati, e risulta massima quando i lati coincidono con la media aritmetica.
Stabilità numerica tramite logaritmi
Calcolare direttamente il prodotto di molti valori può causare overflow in virgola mobile anche con insiemi di dati di dimensioni moderate. Trasformare ciascun valore con il logaritmo naturale, fare la media dei logaritmi e poi esponenziare risolve il problema:
G=exp(mean(lnx1,lnx2,…,lnxn))Il logaritmo trasforma le moltiplicazioni in addizioni e le potenze in fattori scalari, mantenendo tutti i valori intermedi in un intervallo numericamente sicuro. Questo calcolatore utilizza questa forma internamente.
Relazione con le altre medie pitagoriche
La media geometrica è una delle tre medie pitagoriche:
- Media aritmetica (MA): minimizza la somma dei quadrati degli scarti — sensibile ai valori estremi.
- Media geometrica (MG): minimizza la somma dei quadrati degli scarti in scala logaritmica — naturale per dati moltiplicativi.
- Media armonica (MArm): reciproco della media dei reciproci — appropriata per velocità e tassi.
Per qualsiasi insieme di valori positivi vale sempre MArm ≤ MG ≤ MA. Questo calcolatore fornisce sia MG sia MA, così da poter osservare direttamente la disuguaglianza.
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- Calcolatore di Media, Mediana e Moda — media aritmetica, mediana, moda e campo di variazione
- Calcolatore di Media Ponderata — media con pesi diversi per ciascun valore
- Calcolatore di Varianza e Deviazione Standard — varianza e deviazione standard di un insieme di dati
- Calcolatore di Statistica Descrittiva — statistiche riassuntive complete, incluse asimmetria e curtosi
Domande frequenti (FAQ)
Quando conviene usare la media geometrica al posto di quella aritmetica?
La media geometrica è la misura appropriata quando i valori si combinano tramite moltiplicazione anziché addizione: tassi di crescita, fattori di rendimento, indici di prezzo, rapporti tra grandezze. Ad esempio, se un investimento guadagna il 50% nel primo anno e perde il 33% nel secondo, la media aritmetica dei due tassi (+8,5%) sopravvaluta la performance effettiva. La media geometrica fornisce il tasso annuo costante equivalente (0%) che produce lo stesso risultato cumulativo.
Una guida pratica: per dati additivi (temperature, lunghezze, punteggi) si usa la media aritmetica; per dati moltiplicativi (fattori di crescita, indici, rapporti) si usa la media geometrica.
Perché tutti i valori inseriti devono essere positivi?
La media geometrica è definita come la radice n-esima del prodotto di n valori. Se un valore è zero, il prodotto si annulla indipendentemente dagli altri e la media risulta zero. Se un valore è negativo, il prodotto di un numero pari di valori può essere positivo ma privo di significato come «centro» della distribuzione; con un numero dispari di valori negativi il prodotto è negativo e la radice reale che ne deriva non ha interpretazione sensata come media.
In pratica, la media geometrica si applica a grandezze intrinsecamente positive: prezzi, lunghezze, dimensioni di popolazioni, fattori di rendimento.
Qual è il legame tra media geometrica e crescita composta?
La media geometrica di una serie di fattori di crescita è l'unico fattore costante che, applicato a ogni periodo, produce lo stesso valore finale dei fattori variabili. Se un investimento registra i fattori r₁, r₂, …, rₙ in n periodi, il valore finale è uguale al valore iniziale moltiplicato per il prodotto r₁ × r₂ × … × rₙ. La media geometrica G = (r₁ × r₂ × … × rₙ)^(1/n) rappresenta il fattore di crescita costante equivalente per periodo.
Ad esempio, fattori di crescita pari a 1,20, 0,90 e 1,15 danno una media geometrica di circa 1,082, corrispondente a un tasso di crescita costante di circa l'8,2% per periodo.
Che cosa afferma la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica?
La disuguaglianza MA-MG afferma che, per qualsiasi insieme di numeri positivi, la media aritmetica è sempre maggiore o uguale alla media geometrica, con uguaglianza soltanto quando tutti i valori sono identici.
In forma esplicita: (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n ≥ (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n)
Lo scarto tra le due medie cresce all'aumentare della variabilità dei dati. Questo calcolatore mostra entrambe le medie, consentendo di osservare direttamente la disuguaglianza. La disuguaglianza MA-MG trova applicazioni in ottimizzazione, geometria e finanza.
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