Ultimo aggiornamento: 2026-07-02

L'equazione di un'iperbole

Un'iperbole è l'insieme di tutti i punti le cui distanze da due punti fissi — i fuochi — differiscono di una quantità costante. Un'iperbole orizzontale di centro $(h, k)$ ha la forma canonica:

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

Il segno meno è ciò che distingue un'iperbole da un'ellisse. Genera due rami separati che si aprono a sinistra e a destra, ciascuno diretto verso una coppia di rette dette asintoti. Questa calcolatrice prende il semiasse trasverso $a$, il semiasse coniugato $b$ e il centro $(h, k)$ e restituisce la distanza focale, i vertici, i fuochi, l'eccentricità e le pendenze degli asintoti.

Vertici, fuochi e distanza focale

I vertici sono i due punti in cui i rami sono più vicini. Si trovano sull'asse trasverso a distanza $a$ dal centro:

$V = (h \pm a,\ k)$

I fuochi stanno più all'esterno, a distanza $c$ dal centro, dove

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad F = (h \pm c,\ k)$

Si ha sempre $c > a$, perché $b^2 > 0$. È l'opposto della relazione dell'ellisse $c = \sqrt{a^2 - b^2}$: in un'iperbole i fuochi stanno oltre i vertici, non al loro interno.

Asintoti ed eccentricità

Lontano dal centro, ogni ramo aderisce a una delle due rette passanti per il centro con pendenze $\pm b/a$:

$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Un modo rapido per disegnarli a mano è tracciare il rettangolo centrale di larghezza $2a$ e altezza $2b$ centrato in $(h, k)$; gli asintoti sono le sue diagonali prolungate.

L'eccentricità misura quanto si aprono i rami:

$e = \frac{c}{a}$

Poiché $c > a$, un'iperbole ha sempre $e > 1$. (Un'ellisse ha $0 \le e < 1$ e una parabola sta esattamente a $e = 1$.)

Esempio svolto

Problema: descrivere l'iperbole $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

Passo 1 — leggere i semiassi: $a^2 = 9$ e $b^2 = 16$, quindi $a = 3$ e $b = 4$. Il centro è $(0, 0)$.

Passo 2 — vertici: in $(\pm a, 0) = (3, 0)$ e $(-3, 0)$.

Passo 3 — distanza focale:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

quindi i fuochi sono $(5, 0)$ e $(-5, 0)$.

Passo 4 — eccentricità:

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

Passo 5 — asintoti: pendenza $\pm b/a = \pm \tfrac{4}{3}$, cioè $y = \pm \tfrac{4}{3}x$.

Questa iperbole ha dunque vertici $(\pm 3, 0)$, fuochi $(\pm 5, 0)$, eccentricità $5/3$ e asintoti $y = \pm\tfrac{4}{3}x$.

Il semilato retto

Un utile punto di controllo è l'altezza del ramo esattamente sopra un fuoco. Sostituendo $x = c$ nell'equazione si ottiene $y = \pm b^2/a$, quantità detta semilato retto. Nell'esempio precedente vale $16/3 \approx 5{,}33$: il grafico passa per $(5, \pm 16/3)$, ed è per questo che il ramo è già piuttosto alto quando raggiunge il fuoco.

Come differiscono l'asse trasverso e quello coniugato

L'asse trasverso unisce i due vertici e passa per i fuochi; la sua semilunghezza è $a$. L'asse coniugato è a esso perpendicolare e passa per il centro; la sua semilunghezza è $b$. A differenza di un'ellisse, non è richiesto che $a > b$: i rami tagliano l'asse trasverso qualunque sia il maggiore tra $a$ e $b$. Quando $a = b$ gli asintoti sono le rette perpendicolari $y = \pm(x - h) + k$ e l'iperbole si dice equilatera (o rettangolare), con eccentricità esattamente $\sqrt{2}$.