Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Cosa fa questa calcolatrice

Questa calcolatrice trova l'inversa di una matrice 2×2. Inserisci i quattro elementi di A = [[a, b], [c, d]] e restituisce il determinante e i quattro elementi di A⁻¹, insieme a una derivazione passo dopo passo. Quando la matrice non ha inversa, lo segnala invece di stampare numeri privi di significato.

L'inversa di una matrice A si scrive $A^{-1}$ ed è definita dalla relazione $A A^{-1} = A^{-1} A = I$, dove $I$ è la matrice identità.

La formula dell'inversa 2×2

Per una matrice 2×2, l'inversa si ottiene dalla matrice aggiunta divisa per il determinante:

C'è un modo semplice per ricordare la parte matriciale: scambia i due elementi della diagonale principale ($a$ e $d$), cambia segno ai due dell'antidiagonale ($b$ e $c$), poi dividi tutto per il determinante $ad - bc$.

Prima il determinante

Il determinante $\det A = ad - bc$ decide se l'inversa esiste. Se è diverso da zero, la formula precedente fornisce l'unica inversa. Se è zero, la matrice è singolare e non ha inversa: non esiste alcuna matrice per cui moltiplicare per ottenere l'identità.

Esempio svolto

Prendiamo la matrice [[4, 3], [6, 3]].

Prima il determinante:

$\det A = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6$

Poiché il determinante non è zero, l'inversa esiste. Applichiamo la formula:

Verificare il risultato

Una buona abitudine è moltiplicare la matrice originale per l'inversa e verificare di ottenere l'identità:

Il prodotto è la matrice identità, il che conferma che l'inversa è corretta. Piccole differenze nell'ultima cifra decimale derivano solo dall'arrotondamento degli elementi mostrati.

Quando l'inversa non esiste

Una matrice 2×2 è singolare quando $ad - bc = 0$. Geometricamente, i suoi due vettori colonna giacciono sulla stessa retta, quindi la trasformazione schiaccia il piano su una retta e si perde informazione: non c'è modo di invertirla. Per esempio, [[2, 4], [1, 2]] ha determinante $(2)(2) - (4)(1) = 0$, perciò non ha inversa.

Risolvere Ax = b con l'inversa

Uno degli usi principali dell'inversa è risolvere un sistema lineare. Se $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ e $A$ è invertibile, moltiplicando entrambi i membri per $A^{-1}$ si ottiene

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}.$

Per un sistema 2×2 questa è una via rapida alla soluzione, una volta nota l'inversa. Quando la matrice dei coefficienti è singolare, il sistema ha o nessuna soluzione o infinite.

Proprietà utili

• $(A^{-1})^{-1} = A$: invertire due volte riporta alla matrice originale.
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$: l'inversa di un prodotto inverte l'ordine.
• $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$: il determinante dell'inversa è il reciproco del determinante.
• $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$: trasposizione e inversione commutano.