Ultimo aggiornamento: 2026-07-02

La definizione di parabola tramite fuoco e direttrice

Una parabola è l’insieme di tutti i punti che si trovano alla stessa distanza da un punto fisso — il fuoco — e da una retta fissa — la direttrice. Questa unica condizione di equilibrio dà alla parabola la sua forma. Il punto di inversione della curva, il vertice, si trova esattamente a metà tra il fuoco e la direttrice.

Per una parabola che si apre verticalmente (verso l’alto o verso il basso) con vertice $(h, k)$, la forma canonica è:

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

Il numero $p$ è la distanza focale — la distanza con segno dal vertice al fuoco. Da essa discendono tutte le caratteristiche della parabola:

$\text{fuoco} = (h,\ k + p) \qquad \text{direttrice: } y = k - p \qquad \text{asse: } x = h$

Questo strumento prende il vertice insieme a $p$ oppure al coefficiente direttore $a$, e restituisce fuoco, direttrice, asse di simmetria, distanza focale e lato retto, con lo svolgimento passo passo.

Distanza focale, fuoco e direttrice

Poiché il vertice sta a metà tra fuoco e direttrice, entrambi distano dal vertice $|p|$, su lati opposti. Percorrendo $p$ unità lungo l’asse $x = h$ a partire dal vertice si raggiunge il fuoco; percorrendo $p$ nel verso opposto si raggiunge la direttrice.

$\text{fuoco} = (h,\ k + p) \qquad \text{direttrice: } y = k - p$

Il segno di $p$ stabilisce il verso di apertura. Se $p > 0$ la curva si apre verso l’alto e il fuoco è sopra il vertice; se $p < 0$ si apre verso il basso e il fuoco è sotto.

Il lato retto

Il lato retto è la corda che passa per il fuoco perpendicolare all’asse di simmetria — la «larghezza» della parabola misurata all’altezza del fuoco. La sua lunghezza è:

$L = |4p|$

Gli estremi del lato retto sono $(h - 2p,\ k + p)$ e $(h + 2p,\ k + p)$, un modo rapido per tracciare due punti aggiuntivi all’altezza del fuoco.

La forma con coefficiente

Molti libri di testo scrivono una parabola verticale come $y = a(x - h)^2 + k$. È la stessa curva — solo risolta rispetto a $y$. Il confronto con la forma canonica mostra il legame tra il coefficiente direttore $a$ e la distanza focale $p$:

$a = \frac{1}{4p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad p = \frac{1}{4a}$

Un $|a|$ grande dà una parabola stretta con distanza focale corta; un $|a|$ piccolo dà una parabola larga con il fuoco lontano dal vertice. Poiché $a$ e $p$ hanno sempre lo stesso segno, l’uno o l’altro indica il verso di apertura.

Esempio svolto

Problema: Trovare fuoco, direttrice, asse di simmetria e lato retto di $(x - 1)^2 = 8(y + 2)$.

Passo 1 — leggere il vertice. Il confronto con $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ dà $h = 1$ e $k = -2$, quindi il vertice è $(1, -2)$.

Passo 2 — trovare la distanza focale. Il coefficiente a destra è $4p = 8$, dunque:

$p = \frac{8}{4} = 2$

Passo 3 — trovare il fuoco. Sposta di $p = 2$ verso l’alto lungo l’asse a partire dal vertice:

$\text{fuoco} = (h,\ k + p) = (1,\ -2 + 2) = (1,\ 0)$

Passo 4 — trovare la direttrice. Sposta di $p = 2$ nel verso opposto:

$y = k - p = -2 - 2 = -4$

Passo 5 — asse e lato retto.

$\text{asse: } x = h = 1 \qquad L = |4p| = |4 \cdot 2| = 8$

La parabola si apre quindi verso l’alto con fuoco $(1, 0)$, direttrice $y = -4$, asse $x = 1$ e un lato retto di lunghezza $8$. In forma con coefficiente la stessa curva è $y = \tfrac{1}{8}(x - 1)^2 - 2$, poiché $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{8}$.

Leggere il grafico

Il grafico inquadra insieme il vertice $V$, il fuoco $F$ e la direttrice $d$ per rendere visibile l’equilibrio che definisce la curva: scegli un punto qualsiasi della parabola e la sua distanza verso il basso dalla direttrice è uguale alla sua distanza dal fuoco. Il vertice cade sempre a metà tra $F$ e $d$, e l’intera figura è simmetrica rispetto all’asse $x = h$.

Note e limiti

Questo strumento tratta parabole verticali della forma $(x - h)^2 = 4p(y - k)$, che si aprono verso l’alto o verso il basso. Le parabole orizzontali $(y - k)^2 = 4p(x - h)$, che si aprono a sinistra o a destra, scambiano i ruoli di $x$ e $y$: il loro asse è orizzontale, il fuoco è in $(h + p, k)$ e la direttrice è la retta verticale $x = h - p$. La distanza focale $p$ deve essere diversa da zero — per $p = 0$ la curva degenera e non esiste alcuna parabola.