Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Che cos'è una piramide

Una piramide è un solido con una base poligonale e facce triangolari che convergono in un unico punto, il vertice o apice. Questo calcolatore tratta piramidi rette a base rettangolare; la piramide a base quadrata ne è un caso particolare.

Formule

Con lunghezza di base $l$, larghezza di base $w$ e altezza verticale $h$:

Area della base:

Volume — sempre un terzo del prisma equivalente:

Apotema — distanza dal vertice al punto medio di uno spigolo della base, misurata lungo la faccia triangolare. In una piramide rettangolare ciascuna coppia di facce opposte ha la propria apotema:

Per una piramide quadrata ($l = w = a$) le due apoteme sono uguali: $l_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}$

Area laterale — somma delle quattro facce triangolari:

Area totale:

Origine del fattore $\frac{1}{3}$

Qualsiasi piramide ha esattamente un terzo del volume del prisma con la stessa base e la stessa altezza. La dimostrazione classica consiste nell'accostare tre piramidi quadrate congruenti per formare un cubo: ciascuna occupa esattamente $\frac{1}{3}$ del cubo. La prova generale si basa sul principio di Cavalieri: la sezione trasversale all'altezza $z$ ha area $A_b \times (1 - z/h)^2$, che integrata da $0$ a $h$ dà $\frac{1}{3} A_b h$.

Apotema e altezza verticale

L'altezza verticale $h$ è la distanza perpendicolare dal vertice al piano della base. L'apotema $l_s$ è la distanza dal vertice al punto medio di uno spigolo della base, misurata sulla superficie della faccia triangolare. Le due grandezze sono legate da un triangolo rettangolo: $l_s = \sqrt{h^2 + r^2}$, dove $r$ è la distanza dal centro della base al punto medio dello spigolo corrispondente.

In pratica, l'apotema è la misura che si otterrebbe appoggiando un righello sulla faccia della piramide, dal vertice fino al centro dello spigolo inferiore.

Esempio: Grande Piramide di Giza e Piramide del Louvre

La Grande Piramide di Giza ha una base quadrata di circa 230,4 m di lato e un'altezza originale di 146,5 m.

Area della base: $A_b = 230{,}4^2 = 53{.}084 \text{ m}^2 \approx 5{,}3 \text{ ha}$

Volume: $V = \frac{1}{3} \times 53{.}084 \times 146{,}5 \approx 2{.}592{.}000 \text{ m}^3$

Circa 2,6 milioni di metri cubi — equivalenti al riempimento di circa 1.000 piscine olimpioniche.

Apotema: $l_s = \sqrt{146{,}5^2 + 115{,}2^2} \approx 186{,}4 \text{ m}$

Area laterale: $A_{lat} \approx 85{.}893 \text{ m}^2 \approx 8{,}6 \text{ ha}$

Un esempio moderno e familiare è la Piramide del Louvre a Parigi (I. M. Pei, 1989): base quadrata di 35 m e altezza di 21,6 m. Il suo volume vale $\frac{35^2 \times 21{,}6}{3} \approx 8.820 \text{ m}^3$.