Ultimo aggiornamento: 2026-07-02

I fuochi di un’ellisse

Un’ellisse in posizione standard è descritta da

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

dove $a$ è il semiasse nella direzione x e $b$ il semiasse nella direzione y. Ogni ellisse ha due punti interni speciali, i suoi fuochi. Sono ciò che rende un’ellisse un’ellisse: per ogni punto della curva, la somma delle distanze dai due fuochi è costante. Tendendo un anello di spago attorno a due chiodi e percorrendolo con una matita tenuta in tensione, la matita disegna un’ellisse i cui fuochi sono i chiodi.

Questo strumento prende $a$ e $b$ e restituisce la distanza focale, i fuochi stessi, l’eccentricità, i vertici e le lunghezze degli assi maggiore e minore.

Semiasse maggiore e semiasse minore

Il più lungo dei due assi è l’asse maggiore; il più corto, l’asse minore. La metà di ciascuno è un semiasse. Per rendere le formule indipendenti dall’orientamento, chiamiamo $A$ il semiasse maggiore e $B$ quello minore:

$A = \max(a, b) \qquad B = \min(a, b)$

I fuochi giacciono sempre sull’asse maggiore. Se $a > b$ l’asse maggiore è orizzontale; se $b > a$ è verticale.

Distanza focale

La distanza dal centro a ciascun fuoco, $c$, deriva dai semiassi:

$c = \sqrt{A^2 - B^2}$

Poiché $A \ge B$, la quantità sotto radice non è mai negativa. In un’ellisse orizzontale i fuochi sono in $(\pm c, 0)$; in una verticale, in $(0, \pm c)$.

Eccentricità

L’eccentricità misura quanto l’ellisse si discosta da un cerchio:

$e = \frac{c}{A}$

Vale sempre $0 \le e < 1$. Quando $a = b$ i due semiassi sono uguali, $c = 0$ ed $e = 0$: l’ellisse è un cerchio. Man mano che un asse cresce rispetto all’altro, $e$ si avvicina a $1$ e l’ellisse diventa lunga e stretta.

Vertici e lunghezze degli assi

I vertici sono gli estremi dell’asse maggiore, a distanza $A$ dal centro: $(\pm A, 0)$ in un’ellisse orizzontale o $(0, \pm A)$ in una verticale. Gli estremi dell’asse minore sono i co-vertici. Le lunghezze complete degli assi sono

$\text{asse maggiore} = 2A \qquad \text{asse minore} = 2B$

Esempio svolto

Problema: trovare i fuochi, l’eccentricità e le lunghezze degli assi di $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Passo 1 — leggere i semiassi: $a^2 = 25$ quindi $a = 5$, e $b^2 = 9$ quindi $b = 3$. Poiché $a > b$, l’asse maggiore è orizzontale con $A = 5$ e $B = 3$.

Passo 2 — distanza focale:

$c = \sqrt{A^2 - B^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

Passo 3 — fuochi: sull’asse maggiore orizzontale, in $(\pm 4, 0)$, cioè $F_1 = (-4, 0)$ e $F_2 = (4, 0)$.

Passo 4 — eccentricità:

$e = \frac{c}{A} = \frac{4}{5} = 0{,}8$

Passo 5 — vertici e assi: vertici in $(\pm 5, 0)$; asse maggiore $2A = 10$, asse minore $2B = 6$.

Questa ellisse ha quindi fuochi $(-4, 0)$ e $(4, 0)$, eccentricità $0{,}8$ e assi di lunghezza $10$ e $6$.

Ellissi verticali

Quando $b > a$ l’ellisse è più alta che larga, quindi l’asse maggiore è verticale. I ruoli semplicemente si scambiano: $A = b$, $B = a$, e i fuochi passano sull’asse y in $(0, \pm c)$. Per esempio, $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ ha $A = 5$ e $B = 3$, lo stesso $c = 4$ di prima, ma fuochi in $(0, -4)$ e $(0, 4)$. Lo strumento sceglie l’orientamento automaticamente in base a quale semiasse sia maggiore.

Perché la somma delle distanze è costante

La proprietà che definisce l’ellisse, $r_1 + r_2 = 2A$, è legata direttamente a $c$. In un vertice dell’asse maggiore, un raggio focale vale $A + c$ e l’altro $A - c$, e la loro somma è $2A$. In un co-vertice i due raggi sono uguali per simmetria, ciascuno da un fuoco su una distanza $\sqrt{B^2 + c^2}$; ponendola uguale ad $A$ si ottiene $A^2 = B^2 + c^2$, che si riscrive come $c = \sqrt{A^2 - B^2}$. Questa unica relazione lega fuochi, assi ed eccentricità.