Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Aritmetica dei numeri complessi

Un numero complesso unisce una parte reale e una parte immaginaria in un’unica quantità, scritta a + bi, dove i è l’unità immaginaria definita da i² = −1. Il numero a è la parte reale e b è il coefficiente della parte immaginaria. Questa calcolatrice prende due numeri complessi, z₁ = a + bi e z₂ = c + di, applica l’operazione scelta — addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione — e fornisce il risultato insieme al suo modulo e al suo argomento.

I numeri complessi estendono la retta reale a un piano bidimensionale, il che li rende indispensabili in ingegneria elettrica, elaborazione dei segnali, teoria del controllo e meccanica quantistica.

Le quattro operazioni

Addizione e sottrazione si svolgono componente per componente, proprio come la somma di vettori:

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

La moltiplicazione si sviluppa come due binomi; con i² = −1 il termine in i² rientra nella parte reale:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

La divisione moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, c − di. Ciò elimina la parte immaginaria dal denominatore e lascia il valore reale c² + d²:

z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

La divisione è definita per ogni z₂ tranne 0 + 0i, dove c² + d² = 0.

Esempio svolto

Problema: Moltiplicare z₁ = 3 + 4i per z₂ = 1 + 2i.

Applicando la regola della moltiplicazione con a = 3, b = 4, c = 1, d = 2:

• Parte reale: ac − bd = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
• Parte immaginaria: ad + bc = (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10

Quindi z₁ z₂ = −5 + 10i.

Il modulo del risultato è √((−5)² + 10²) = √125 ≈ 11,18, e il suo argomento è atan2(10, −5) ≈ 116,57°, che si trova nel secondo quadrante perché la parte reale è negativa e quella immaginaria positiva.

Modulo e argomento

Ogni numero complesso corrisponde a un punto del piano, con la parte reale sull’asse orizzontale e quella immaginaria sull’asse verticale. Due grandezze polari descrivono quel punto:

• Il modulo r = √(x² + y²) è la distanza dall’origine. Misura la grandezza del numero.
• L’argomento φ è l’angolo misurato a partire dal semiasse reale positivo. L’arcotangente a due argomenti, φ = atan2(y, x), colloca l’angolo nel quadrante corretto e restituisce un valore tra −180° e 180° (oppure tra −π e π in radianti).

Forma algebrica e forma polare

La forma algebrica, x + yi, fornisce direttamente le coordinate orizzontale e verticale. La forma polare, r(cos φ + i sin φ), usa invece la distanza e l’angolo. Le due forme descrivono lo stesso numero; la scelta è una questione di comodità.

Addizione e sottrazione sono più semplici in forma algebrica, poiché le parti si combinano in modo indipendente. Moltiplicazione, divisione e potenze sono più semplici in forma polare: i moduli si moltiplicano o si dividono mentre gli argomenti si sommano o si sottraggono. Il teorema di De Moivre si basa direttamente su questo e trasforma il laborioso calcolo di una potenza di un numero complesso in una sola moltiplicazione dell’argomento.