Ultimo aggiornamento: 2026-05-21

Il triangolo: il poligono più semplice della geometria

Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli. È la figura chiusa più semplice nella geometria piana, e la sua area è una delle misure più fondamentali della matematica. Questo calcolatore copre quattro metodi: base e altezza, formula di Erone (tre lati), LAL (due lati e l'angolo compreso) e ALA (un lato e due angoli adiacenti).

Metodo base e altezza

La formula più diretta è:

$A = \frac{1}{2} \times b \times h$

dove $b$ è la lunghezza di un lato scelto come base e $h$ è l'altezza perpendicolare — la distanza misurata ad angolo retto dalla base al vertice opposto.

Questa formula vale per ogni tipo di triangolo:

• Triangoli acutangoli: il piede dell'altezza cade all'interno della base.
• Triangoli rettangoli: un cateto è la base e l'altro è l'altezza.
• Triangoli ottusangoli: il piede dell'altezza cade fuori dalla base, ma la formula rimane valida.

Derivazione del fattore ½

Un triangolo equivale esattamente alla metà di un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza. Duplicando il triangolo, ruotandolo di 180° e unendolo lungo un lato, si ottiene un parallelogramma di area $b \times h$. Il triangolo ha quindi area $\frac{b \times h}{2}$.

Formula di Erone

Quando si conoscono solo le tre lunghezze dei lati — senza altezza né angoli — la formula di Erone fornisce l'area direttamente:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Qui $s$ è il semiperimetro (metà del perimetro). La formula risale a Erone di Alessandria (c. 60 d.C.).

Esempio: triangolo rettangolo 3-4-5

$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$

$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$

Verifica con il metodo base-altezza: i cateti 3 e 4 sono perpendicolari, quindi $A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. Entrambi i metodi concordano.

LAL: due lati e l'angolo compreso

Quando si conoscono due lati $p$ e $q$ e l'angolo compreso $C$, l'area è:

$A = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C$

Deriva dalla formula base-altezza: prendendo $p$ come base, l'altezza è $q \sin C$ (la componente di $q$ perpendicolare a $p$).

Esempio: $p = 5$, $q = 7$, $C = 60°$

$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}16$

Per $C = 90°$, $\sin 90° = 1$ e la formula si riduce alla classica area del triangolo rettangolo $\frac{1}{2} p q$.

ALA: un lato e due angoli adiacenti

Quando si conoscono il lato $c$ e gli angoli $A$ e $B$ ai suoi estremi, l'area è:

$A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)}$

Si ottiene applicando il teorema dei seni per esprimere gli altri due lati in funzione di $c$ e sostituendo nella formula LAL. Il terzo angolo è $C = 180° - A - B$.

Esempio: $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$ (quindi $C = 70°$)

$A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22{,}6$

Disuguaglianza triangolare

Non qualsiasi insieme di tre numeri positivi definisce un triangolo reale. Tre lunghezze $a$, $b$, $c$ formano un triangolo valido se e solo se:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Se una sola di queste condizioni è violata, non è possibile costruire alcun triangolo. Con la formula di Erone, la violazione rende negativa l'espressione sotto la radice quadrata — segnale immediato che i dati inseriti sono geometricamente impossibili.

Lati	Valido?	Motivo
3, 4, 5	Sì	3+4=7 > 5 ✓
1, 2, 10	No	1+2=3 < 10 ✗
5, 5, 5	Sì	equilatero ✓

Applicazioni nel mondo reale

Architettura e ingegneria civile. Le capriate triangolari costituiscono l'ossatura di tetti, ponti e gru: il triangolo è l'unico poligono rigido sotto carico.

Topografia. I topografi misurano i tre lati di un appezzamento e applicano la formula di Erone per calcolarne la superficie senza bisogno di tracciare perpendicolari.

Computer grafica. Ogni superficie 3D è approssimata da una mesh di triangoli. La GPU calcola le aree dei triangoli per determinare illuminazione, ombre e rilevamento delle collisioni.

Navigazione. La triangolazione sfrutta tre punti di riferimento noti per individuare una posizione sconosciuta.

Per un triangolo rettangolo, Calcolatore del teorema di Pitagora permette di trovare il lato mancante prima di calcolarne l'area. Per figure correlate, vedi anche Calcolatore di Area e Circonferenza del Cerchio e Calcolatore di poligono regolare.

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la formula per l'area di un triangolo?

La formula più comune è A = ½ × base × altezza, dove l'altezza è la distanza perpendicolare dalla base al vertice opposto. È valida per qualsiasi triangolo, purché siano noti la base e la sua altezza corrispondente.

Che cos'è la formula di Erone?

La formula di Erone calcola l'area dai tre lati a, b e c senza bisogno dell'altezza. Prima si calcola il semiperimetro s = (a + b + c) ÷ 2, poi Area = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Per il triangolo rettangolo 3-4-5: s = 6, Area = 6.

Quando tre lunghezze non formano un triangolo?

Tre lunghezze formano un triangolo valido solo se la somma di due lati qualsiasi è maggiore del terzo (disuguaglianza triangolare). I lati 1, 2 e 10 non vanno perché 1 + 2 = 3 < 10, e la formula di Erone produrrebbe un valore negativo sotto la radice.

Come si calcola l'area con due lati e l'angolo compreso?

Se conosci due lati p e q e l'angolo C tra loro, l'area è A = ½ × p × q × sen(C). Esempio: p = 5, q = 7, C = 60° → A = ½ × 5 × 7 × sen(60°) ≈ 15,16. Ciò deriva dal fatto che l'altezza del triangolo è q × sen(C).

Come si calcola l'area con un lato e due angoli?

Se conosci il lato c e gli angoli A e B ai suoi estremi (con C = 180° − A − B), l'area è A = c² × sen(A) × sen(B) ÷ (2 × sen(A + B)). Esempio: c = 8, A = 50°, B = 60° → Area = 64 × sen(50°) × sen(60°) ÷ (2 × sen(110°)) ≈ 22,6.