Skip to content
Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Errore standard della media

Dati di input

Deviazione standard campionaria12
Dimensione del campione36
Livello di confidenza95%
Media campionaria100

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/standard-error

Matematica

Errore standard della media

Calcola l'errore standard della media (ESM) a partire dalla deviazione standard e dalla dimensione del campione con ESM = s/√n, e costruisci l'intervallo di confidenza x̄ ± z·ESM. Inserisci la deviazione standard, la dimensione del campione, il livello di confidenza e la media campionaria.

Dati di input

≥ 1

Risultati

Inserisci un valore per visualizzare i risultati.

\begin{aligned} \text{SEM} &= \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ &= \dfrac{12}{\sqrt{36}} \\ &= ? \end{aligned}

Incorpora questa calcolatrice

Anteprima

Incolla questo codice nella tua pagina per mostrare la calcolatrice.

Condividi questo calcolo

Chiunque apra questo link vedrà i tuoi valori già inseriti.

Condividi tramite

XFacebookLINE E-mail

Cosa fa questa calcolatrice

Questa calcolatrice ricava l'errore standard della media (ESM) dalla deviazione standard e dalla dimensione di un campione, e costruisce l'intervallo di confidenza attorno alla media campionaria. Inserisci la deviazione standard, la dimensione del campione, il livello di confidenza e la media campionaria osservata.

Che cos'è l'errore standard della media

Quando stimi una media a partire da un campione, quella stima non è mai esatta: un altro campione casuale darebbe una media leggermente diversa. L'errore standard della media quantifica questa incertezza: è la deviazione standard della distribuzione campionaria della media, cioè quanto ci si aspetta che la media campionaria vari da un campione all'altro.

Un errore standard piccolo indica che la media campionaria individua con precisione la media della popolazione; uno grande indica una stima poco precisa. È l'ingrediente chiave degli intervalli di confidenza e dei test d'ipotesi su una media.

La formula

ESM=sn\text{ESM} = \frac{s}{\sqrt{n}}
  • ESM — l'errore standard della media
  • s — la deviazione standard campionaria
  • n — la dimensione del campione

La deviazione standard misura la dispersione dei dati grezzi; dividere per n\sqrt{n} la converte nella dispersione della media. Mediare molte osservazioni annulla il rumore individuale, quindi la media è più stabile di qualsiasi singolo dato, e più si media, più diventa stabile.

Intervallo di confidenza

Ottenuto l'errore standard, un intervallo di confidenza per la media della popolazione è la media campionaria più o meno un valore critico moltiplicato per l'errore standard:

xˉ±z⋅ESM\bar{x} \pm z \cdot \text{ESM}

Il valore critico zz proviene dalla distribuzione normale standard ed è fissato dal livello di confidenza (1,645 per il 90%, 1,96 per il 95%, 2,576 per il 99%). Al 95% di confidenza ciò significa che, se lo studio fosse ripetuto molte volte, circa il 95% degli intervalli così costruiti conterrebbe la vera media della popolazione.

Errore standard e deviazione standard

Entrambi misurano la "dispersione" e per questo si confondono facilmente, ma descrivono cose diverse:

GrandezzaDescrive la dispersione di…Comportamento al crescere di n
Deviazione standard (s)delle singole osservazioni di un campioneresta all'incirca costante
Errore standard (ESM)della media campionaria tra i campionitende a zero (∝ 1/√n)

Raccogliere più dati non rende i singoli valori meno variabili, quindi la deviazione standard è stabile. Ma rende la media più affidabile, perciò l'errore standard continua a scendere.

Perché l'errore standard diminuisce con √n

Poiché la dimensione del campione entra sotto una radice quadrata, l'errore standard cala in proporzione a 1/n1/\sqrt{n} anziché in proporzione inversa a nn. Ciò produce rendimenti decrescenti:

Dimensione del campione nErrore standard relativo
1001,00
4000,50
1.6000,25
6.4000,125

Per dimezzare l'errore standard occorre quadruplicare il campione. Ogni ulteriore unità di precisione diventa progressivamente più costosa.

Esempio svolto

Supponiamo che un campione di dimensione 36 abbia una deviazione standard di 12 e una media di 100, e che si voglia un intervallo di confidenza al 95%. Il valore critico è 1,96:

ESM=sn=1236=126=2xˉ±z⋅ESM=100±1,96×2=100±3,92=(96,08, 103,92)\begin{aligned} \text{ESM} &= \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2 \\ \bar{x} \pm z \cdot \text{ESM} &= 100 \pm 1{,}96 \times 2 \\ &= 100 \pm 3{,}92 = (96{,}08,\ 103{,}92) \end{aligned}

L'errore standard della media è 2, e l'intervallo di confidenza al 95% va da 96,08 a 103,92. In base a questo campione, la media della popolazione è plausibilmente in un punto qualsiasi di quell'intervallo.

Quando la deviazione standard è stimata da un campione piccolo

L'intervallo sopra usa il valore normale zz, appropriato quando la deviazione standard della popolazione è nota o il campione è abbastanza grande da rendere ss un sostituto affidabile. Una regola pratica comune è n≥30n \geq 30.

Quando ss è stimata da un campione piccolo, sostituisci zz con un valore della distribuzione t, che ha code più pesanti per tenere conto dell'incertezza aggiuntiva:

xˉ±t n−1⋅sn\bar{x} \pm t_{\,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

Il valore t dipende dai gradi di libertà, uno in meno della dimensione del campione, ed è sempre un po' più grande del corrispondente valore z, perciò allarga l'intervallo. Al crescere di n, il valore t converge di nuovo a z.

Calcolatrici correlate

L'Calcolatore di Intervallo di Confidenza costruisce l'intervallo completo attorno alla tua stima per medie e proporzioni, e il Calcolo del margine di errore fornisce direttamente la semiampiezza z⋅ESMz \cdot \text{ESM}. Per ricavare prima la deviazione standard dai dati grezzi, usa la Calcolatore di Varianza e Deviazione Standard.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos'è l'errore standard della media?

L'errore standard della media (ESM) misura con quale precisione una media campionaria stima la vera media della popolazione. È la deviazione standard della distribuzione campionaria della media, cioè quanto varierebbe la media campionaria se si estraessero ripetutamente nuovi campioni della stessa dimensione dalla popolazione.

Un errore standard piccolo indica che la media campionaria è una stima precisa; uno grande indica che può discostarsi di più. Si calcola dividendo la deviazione standard campionaria per la radice quadrata della dimensione del campione.

In cosa differisce l'errore standard dalla deviazione standard?

La deviazione standard (s) descrive la dispersione delle singole osservazioni all'interno di un singolo campione: quanto un dato tipico si discosta dalla media. L'errore standard (ESM) descrive la dispersione della media campionaria su campioni ripetuti ipotetici: quanto una media campionaria tipica si discosta dalla vera media della popolazione.

Poiché ESM = s/√n, l'errore standard è sempre più piccolo della deviazione standard (per n > 1) e diminuisce al crescere del campione, mentre la deviazione standard resta all'incirca costante indipendentemente dal numero di osservazioni raccolte.

Come influisce la dimensione del campione sull'errore standard?

L'errore standard diminuisce in proporzione a 1/√n, non a 1/n. Poiché la dimensione del campione è sotto una radice quadrata, dimezzare l'errore standard richiede di quadruplicare il campione. Passare da 100 a 400 osservazioni dimezza l'errore standard; passare da 400 a 1.600 lo dimezza di nuovo. Questa legge della radice quadrata spiega perché ogni ulteriore unità di precisione diventa progressivamente più costosa.

Quando usare z anziché t per l'intervallo?

Questa calcolatrice usa il valore z della normale standard (1,645, 1,96, 2,576 per 90%, 95%, 99%), appropriato quando la deviazione standard della popolazione è nota o il campione è grande; una regola pratica comune è n ≥ 30.

Quando la deviazione standard è stimata da un campione piccolo, usa invece la distribuzione t. Ha code più pesanti e un valore critico che dipende dai gradi di libertà (n − 1), dando un intervallo un po' più ampio. Al crescere di n, il valore t converge al valore z.

Da provare dopo

Calcolatore di Intervallo di Confidenza

Calcola l'intervallo di confidenza, il margine di errore e il valore Z per una media campionaria. Supporta livelli di confidenza del 90 %, 95 % e 99 %.

 Approfondisci
Calcolo del margine di errore

Calcola il margine di errore per una media della popolazione con E = z·σ/√n e l'intervallo di confidenza risultante x̄ ± E. Inserisci livello di confidenza, deviazione standard, numerosità campionaria e media campionaria.

 Approfondisci
Calcolatore di Varianza e Deviazione Standard

Calcola varianza e deviazione standard di un insieme di dati numerici. Supporta sia la formula campionaria (÷ n−1) sia quella di popolazione (÷ n).

 Approfondisci
Calcolatore di Punteggio Z

Calcola il punteggio Z (punteggio standard) e il percentile approssimativo per qualsiasi valore di una distribuzione normale. Inserisci il valore, la media e la deviazione standard — senza bisogno di tavole Z.

 Approfondisci

200+ calcolatori · 10 lingue · 100% gratis

Questo calcolatore ti è stato utile?

No

Come possiamo migliorare questo calcolatore?
Realizzato con OneCalc ↗