Generato il: 13 giugno 2026 alle ore 18:02

Distribuzione Geometrica

Dati di input

Probabilità di successo0,3
Numero del tentativo3

Grafico

Valore della PMF 0

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/geometric-distribution

Matematica

Distribuzione Geometrica

Calcola la probabilità che il primo successo avvenga al k-esimo tentativo, la probabilità cumulativa P(X≤k), la media e la varianza di una distribuzione geometrica.

Dati di input

Parametri

0 – 1
≥ 1

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Dettagli

Probabilità

\begin{aligned} P(X=k) &= (1-p)^{k-1} \cdot p \\ &= (1-0,3)^{ 3-1 } \cdot 0,3 \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \leq k) &= 1-(1-p)^{k} \\ &= 1-(1-0,3)^{ 3 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{p} \\ &= \dfrac{1}{ 0,3 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1-p}{p^2} \\ &= \dfrac{1-0,3}{ 0,3^2 } \\ &= ? \end{aligned}

Distribuzione

Valore della PMF 0

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La distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di prove di Bernoulli indipendenti necessarie per ottenere il primo successo. Ciascuna prova ha la stessa probabilità p di successo ed è indipendente dalle precedenti. Il modello trova applicazione in qualunque processo in cui si ripetono tentativi identici fino al raggiungimento di un esito desiderato: controllo qualità, teoria delle code, analisi di affidabilità, protocolli di ritrasmissione in reti informatiche.

Formula

Questo calcolatore adotta la convenzione numero di tentativi fino al primo successo: la variabile X indica il tentativo in cui si verifica il primo successo, quindi X ≥ 1. La funzione di massa di probabilità (PMF) e la funzione di ripartizione (CDF) sono:

P(X=k)=(1−p)k−1⋅p,k=1,2,3,…P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots P(X≤k)=1−(1−p)kP(X \leq k) = 1 - (1-p)^k

La media e la varianza di X con questa convenzione sono:

μ=1p,σ2=1−pp2\mu = \frac{1}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}

Una seconda convenzione, diffusa in alcuni testi di combinatoria, definisce X come il numero di fallimenti prima del primo successo (X ≥ 0): in quel caso la PMF diventa P(X = k) = (1−p)^k · p e la media è (1−p)/p. Questo calcolatore non utilizza tale convenzione.

Esempio numerico

Un ispettore di un impianto produttivo esamina componenti uno alla volta. La probabilità che un componente risulti difettoso è p = 0,15, indipendentemente dagli altri. Qual è la probabilità che il primo pezzo difettoso venga trovato esattamente al terzo controllo?

Con p = 0,15 e k = 3:

P(X=3)=(1−0,15)3−1×0,15=0,852×0,15=0,7225×0,15≈0,1084P(X = 3) = (1 - 0{,}15)^{3-1} \times 0{,}15 = 0{,}85^{2} \times 0{,}15 = 0{,}7225 \times 0{,}15 \approx 0{,}1084

La probabilità è circa 10,84 %. La probabilità cumulativa di trovare il primo pezzo difettoso entro i primi tre controlli è:

P(X≤3)=1−0,853=1−0,6141≈0,3859P(X \leq 3) = 1 - 0{,}85^3 = 1 - 0{,}6141 \approx 0{,}3859

L'ispettore ha dunque circa il 38,6 % di probabilità di individuare il primo difetto entro tre controlli. Il numero medio di pezzi da esaminare prima del primo difetto è μ = 1/0,15 ≈ 6,67.

Perché la formula ha questa forma

Perché il primo successo avvenga esattamente al tentativo k occorrono due condizioni:

  1. I tentativi da 1 a k−1 devono fallire tutti. Poiché ogni fallimento ha probabilità 1−p e i tentativi sono indipendenti, la probabilità di k−1 fallimenti consecutivi è (1−p)^(k−1).
  2. Il tentativo k deve avere successo, con probabilità p.

Moltiplicando queste probabilità indipendenti si ottiene (1−p)^(k−1) · p.

La CDF deriva dalla regola del complemento. L'unico modo in cui P(X ≤ k) non si verifica è che tutti i k tentativi falliscano, con probabilità (1−p)^k. Pertanto P(X ≤ k) = 1 − (1−p)^k.

Proprietà di assenza di memoria

La distribuzione geometrica è l'unica distribuzione discreta dotata della proprietà di assenza di memoria: sapendo che il primo successo non è ancora avvenuto dopo m tentativi, il numero di tentativi rimanenti ha esattamente la stessa distribuzione geometrica dell'originale. Formalmente, P(X > m + n | X > m) = P(X > n). Questa proprietà rende la distribuzione geometrica particolarmente trattabile nella teoria delle code e nei test sequenziali.

Relazione con altre distribuzioni

La distribuzione geometrica è un caso particolare della distribuzione binomiale negativa con numero di successi richiesti r = 1. Più in generale, la somma di r variabili aleatorie geometriche indipendenti segue una distribuzione binomiale negativa, che fornisce il numero di tentativi necessari per ottenere r successi.

Quando p è piccolo e il numero di tentativi n è grande, il numero di successi in n prove geometriche è approssimativamente distribuito secondo Poisson. Per valori di p prossimi a 1, la distribuzione si concentra intorno a k = 1 e diventa sempre più asimmetrica.

Applicazioni pratiche

  • Controllo qualità e collaudi: stima del numero di unità da ispezionare prima di individuare il primo articolo non conforme.
  • Reti e telecomunicazioni: analisi del numero di ritrasmissioni necessarie prima che un pacchetto venga ricevuto correttamente, nei protocolli a ritrasmissione automatica (ARQ).
  • Ricerca di mercato e vendite: modellazione del numero medio di contatti necessari prima di concludere una trattativa, con una probabilità di chiusura p stimata storicamente.
  • Sperimentazione clinica: calcolo del numero atteso di soggetti da esaminare prima di arruolare il primo partecipante idoneo, in presenza di una probabilità fissa di eleggibilità.

Domande frequenti (FAQ)

Cos'è la distribuzione geometrica?

La distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta che modella il numero di prove di Bernoulli indipendenti necessarie per ottenere il primo successo. Ogni prova ha la stessa probabilità p di successo ed è indipendente dalle altre. Ad esempio, se p = 0,3, la distribuzione descrive quante volte occorre estrarre una carta da un mazzo (con probabilità 0,3 di pescare quella desiderata) prima di riuscirci. La distribuzione gode della proprietà di assenza di memoria: il numero di tentativi aggiuntivi necessari per avere successo ha la stessa distribuzione geometrica dell'originale, indipendentemente dai fallimenti già accumulati.

Quale convenzione utilizza questo calcolatore?

Il calcolatore adotta la convenzione «numero di tentativi fino al primo successo»: X indica il tentativo in cui si verifica il primo successo, quindi X ≥ 1. Con questa convenzione, P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p. Esiste una convenzione alternativa, presente in alcuni testi di combinatoria, che definisce X come il numero di fallimenti prima del primo successo (X ≥ 0): in quel caso P(X = k) = (1−p)^k · p. Le due convenzioni differiscono di un'unità nell'indice. Con la convenzione adottata da questo calcolatore la media è 1/p; con l'altra è (1−p)/p.

Quanti tentativi sono necessari in media?

Il numero atteso di tentativi è μ = 1/p. Con una probabilità di successo p = 0,25 la media è 4 tentativi; con p = 0,1 la media sale a 10. La deviazione standard è σ = √((1−p)/p²): per p = 0,25 risulta σ = √12 ≈ 3,46, a indicare una variabilità considerevole da prova a prova. La distribuzione è asimmetrica a destra: la maggior parte delle sequenze si conclude in pochi tentativi, ma le rare sequenze lunghe innalzano la media verso valori più elevati.

Qual è il legame tra la distribuzione geometrica e quella binomiale negativa?

La distribuzione geometrica è un caso particolare della distribuzione binomiale negativa con numero di successi richiesti pari a r = 1. La binomiale negativa con r = 1 dà P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p, che coincide esattamente con la funzione di massa di probabilità geometrica. La binomiale negativa generalizza questo risultato al numero di tentativi necessari per raggiungere r successi. Questa relazione è utile quando si estendono i modelli geometrici a scenari in cui sono richiesti più successi.

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