Generato il: 13 giugno 2026 alle ore 18:02

Calcolo del valore atteso

Dati di input

Esiti10, -5, 20
Probabilità0.5, 0.3, 0.2

Risultati

Somma delle probabilità1
Numero di esiti3

Grafico

Probabilità 0

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/discrete-expected-value

Matematica

Calcolo del valore atteso

Calcola il valore atteso, la varianza e la deviazione standard di una distribuzione di probabilità discreta a partire da esiti e probabilità separati da virgola.

Dati di input

Esiti e probabilità

Risultati

Dettagli

Formule

\begin{aligned} E[X] &= \sum_{i} p_i \cdot x_i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \sum_{i} p_i \cdot (x_i - E[X])^2 \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{\sigma^2} \\ &= \sqrt{?} \\ &= ? \end{aligned}

Distribuzione di probabilità

Probabilità 0

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Definizione di valore atteso

Il valore atteso di una variabile casuale discreta X, indicato con E[X] e talvolta chiamato speranza matematica, è la media ponderata di tutti i possibili esiti, dove i pesi sono le rispettive probabilità. Data una distribuzione con esiti x₁, x₂, …, xₙ e probabilità p₁, p₂, …, pₙ, la definizione è:

E[X]=∑i=1npi⋅xiE[X] = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot x_i

Questa grandezza risponde alla domanda: se l'esperimento fosse ripetuto un numero molto elevato di volte in condizioni identiche e indipendenti, quale sarebbe il risultato medio? La risposta è E[X], garantita dalla legge dei grandi numeri.

Formula e esempio numerico

Si consideri un'urna con tre premi possibili:

EsitoProbabilità
+120,50
−40,30
+180,20

Valore atteso:

E[X]=12×0,50+(−4)×0,30+18×0,20=6,00−1,20+3,60=8,40E[X] = 12 \times 0{,}50 + (-4) \times 0{,}30 + 18 \times 0{,}20 = 6{,}00 - 1{,}20 + 3{,}60 = 8{,}40

Chi organizzasse questo gioco pagando una quota di partecipazione inferiore a 8,40 per ogni tentativo guadagnerebbe sistematicamente nel lungo periodo. Chi la pagasse superiore perderebbe altrettanto sistematicamente.

Varianza — La varianza σ² misura la dispersione degli esiti attorno al valore atteso, pesata dalle probabilità:

σ2=∑i=1npi⋅(xi−E[X])2\sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot (x_i - E[X])^2 σ2=0,50×(12−8,4)2+0,30×(−4−8,4)2+0,20×(18−8,4)2\sigma^2 = 0{,}50 \times (12 - 8{,}4)^2 + 0{,}30 \times (-4 - 8{,}4)^2 + 0{,}20 \times (18 - 8{,}4)^2 =0,50×12,96+0,30×153,76+0,20×92,16=6,48+46,13+18,43=71,04= 0{,}50 \times 12{,}96 + 0{,}30 \times 153{,}76 + 0{,}20 \times 92{,}16 = 6{,}48 + 46{,}13 + 18{,}43 = 71{,}04

Deviazione standard (σ = √71,04 ≈ 8,43) riporta la dispersione nelle unità originali degli esiti e fornisce una misura della variabilità tipica di una singola prova.

Valore atteso e varianza: due grandezze complementari

Due distribuzioni con lo stesso valore atteso possono avere profili di rischio del tutto diversi. Un titolo obbligazionario che corrisponde 100 € con certezza (E[X] = 100, σ = 0) e un'opzione che vale 200 € con probabilità 0,5 e 0 € altrimenti (E[X] = 100, σ = 100) hanno la stessa aspettativa, ma la seconda comporta un'incertezza molto maggiore. La scelta razionale in condizioni di incertezza richiede di considerare entrambe le grandezze: il valore atteso indica la redditività media attesa, la varianza quantifica il rischio.

Nella pratica attuariale e nella teoria del portafoglio, questo principio è formalizzato nel criterio media-varianza, secondo cui a parità di rendimento atteso si preferisce la distribuzione con varianza minore.

Gioco equo e gioco sfavorevole

Un gioco si dice equo quando E[X] = 0: il guadagno atteso è nullo e nessuna delle parti ha un vantaggio sistematico. Nella gran parte dei giochi d'azzardo commerciali E[X] < 0 per il giocatore, il che garantisce all'operatore un profitto atteso positivo a ogni partita. Questo strumento permette di verificare rapidamente se la struttura dei pagamenti di un gioco è equa, favorevole o sfavorevole, prima di impegnarsi in una serie di prove ripetute.

Legge dei grandi numeri

La legge forte dei grandi numeri afferma che, per variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite con valore atteso finito, la media campionaria converge quasi certamente a E[X] al crescere del numero di osservazioni. Questo risultato è il fondamento teorico del calcolo attuariale, dei modelli di pricing finanziario e di qualsiasi pianificazione a lungo termine basata sull'aggregazione di eventi indipendenti.

La legge non dice nulla sul singolo esito né su sequenze brevi di prove. Un gioco con E[X] = +5 può produrre una serie di risultati negativi per decine di turni consecutivi. La deviazione standard quantifica esattamente questa variabilità nel breve periodo: circa il 68% degli esiti individuali cade entro un σ da E[X], circa il 95% entro due σ.

Utilizzo del calcolatore

Inserire gli esiti e le probabilità corrispondenti come valori separati da virgola — il numero di elementi nelle due liste deve coincidere. Le probabilità devono essere non negative e avere somma pari a 1; il calcolatore segnala uno scostamento superiore a 0,001. Gli esiti possono essere qualsiasi numero reale, compresi i valori negativi.

Il grafico a barre visualizza la distribuzione di probabilità: sull'asse orizzontale compaiono gli indici degli esiti, sull'asse verticale le probabilità associate, rendendo immediatamente visibile dove è concentrata la massa di probabilità.

Domande frequenti (FAQ)

Cos'è il valore atteso di una variabile casuale?

Il valore atteso E[X] è la media ponderata di tutti i possibili esiti di una variabile casuale discreta, dove i pesi sono le rispettive probabilità. Per un gioco che corrisponde 10 € con probabilità 0,5 e perde 5 € con probabilità 0,5, si ottiene E[X] = 10 × 0,5 + (−5) × 0,5 = 2,50 €. Ripetendo l'esperimento un numero molto elevato di volte, la media dei risultati converge a questo valore. Il valore atteso è il fondamento dell'analisi del rischio, del calcolo attuariale e della teoria delle probabilità applicata.

Conviene sempre accettare una scommessa con valore atteso positivo?

Un valore atteso positivo è una condizione necessaria ma non sufficiente per agire. La varianza è altrettanto rilevante: una scommessa con E[X] = 1 € ma con il 10% di probabilità di perdere tutto il patrimonio ha un'aspettativa favorevole ma un rischio catastrofico. La teoria dell'utilità spiega perché un agente razionale può rifiutare alcune proposte a valore atteso positivo: l'utilità marginale della ricchezza è decrescente. In pratica, il valore atteso positivo è un segnale forte per accettare quando la posta in gioco è contenuta rispetto alle risorse totali e l'operazione può essere ripetuta molte volte.

Perché il valore atteso non è attendibile nel breve periodo?

Il valore atteso descrive il risultato medio su un numero elevato di prove indipendenti, non il singolo esito. La legge dei grandi numeri garantisce che la media campionaria converga a E[X] all'aumentare del numero di prove, ma su un numero ridotto di osservazioni i risultati effettivi possono discostarsi sensibilmente dall'aspettativa. Una moneta che paga 10 € su testa e 0 € su croce ha E[X] = 5 € per lancio, ma in dieci lanci è del tutto normale ottenere 30 € o 80 €. La deviazione standard (σ) quantifica precisamente questa incertezza nel breve periodo.

Cosa accade se le probabilità non sommano a 1?

Una distribuzione di probabilità discreta valida richiede che tutte le probabilità siano non negative e che la loro somma sia esattamente 1. Se la somma è inferiore a 1, il modello è incompleto: alcuni esiti o le loro probabilità non sono stati considerati. Se supera 1, il modello è incoerente. In entrambi i casi il calcolo del valore atteso rimane aritmeticamente corretto, ma il risultato non rappresenta il valore atteso di una variabile casuale ben definita. Questo calcolatore segnala uno scostamento dalla somma unitaria superiore a 0,001.

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