Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Poligono regolare

Un poligono regolare è una figura piana con tutti i lati uguali e tutti gli angoli interni uguali. Il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono regolare e l'esagono sono gli esempi più diffusi.

Dati il numero di lati $n$ e la lunghezza del lato $a$, tutte le altre misure — perimetro, area, angoli, apotema e raggio circoscritto — si ricavano con relazioni trigonometriche esatte.

Relazioni geometriche

Un poligono regolare con $n$ lati può essere suddiviso in $n$ triangoli isosceli congruenti, tutti con vertice nel centro. Ogni triangolo ha due lati pari al raggio circoscritto $R$ e base pari al lato $a$. Il segmento perpendicolare dal centro al punto medio di ciascun lato è l'apotema $r$, che coincide con il raggio del cerchio inscritto. L'angolo al vertice centrale di ciascun triangolo vale $2\pi/n$; da questa struttura derivano tutte le formule seguenti.

Formule

Perimetro:

$P = n \cdot a$

Angolo interno (in ogni vertice):

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

Angolo esterno (supplemento dell'interno, somma sempre 360°):

$\beta = \frac{360°}{n}$

Apotema (raggio inscritto) — distanza perpendicolare dal centro al punto medio di un lato:

$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$

Raggio circoscritto — distanza dal centro a ogni vertice:

$R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}$

Area:

$A = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\pi/n)}$

Angoli interni dei poligoni più comuni

Lati	Nome	Angolo interno
3	Triangolo equilatero	60°
4	Quadrato	90°
5	Pentagono	108°
6	Esagono	120°
8	Ottagono	135°
12	Dodecagono	150°

Esempio svolto

Problema: Una piastrella esagonale regolare ha lato 8 cm. Calcolare area, apotema e raggio circoscritto.

Con n = 6 e a = 8 cm:

$r = \frac{8}{2 \tan(30°)} \approx 6{,}928 \text{ cm}$

$R = \frac{8}{2 \sin(30°)} = 8 \text{ cm}$

$A = \frac{6 \times 64}{4 \tan(30°)} \approx 166{,}3 \text{ cm}^2$

Nell'esagono regolare vale la proprietà notevole $R = a$: il raggio circoscritto coincide con il lato. Questa simmetria spiega perché i favi delle api e molte pavimentazioni adottano la forma esagonale.

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la formula per calcolare l'area di un poligono regolare?

L'area di un poligono regolare con n lati di lunghezza a è A = (n·a²) / (4·tan(π/n)). Per un esagono regolare (n=6) con lato di 10 cm: A = (6 × 100) / (4 × tan(30°)) = 600 / (4 × 0,5774) ≈ 259,8 cm². Una formula equivalente utilizza l'apotema (raggio inscritto): A = ½ × perimetro × apotema = ½ × n·a · r.

Come si calcola l'angolo interno di un poligono regolare?

L'angolo interno di un poligono regolare con n lati è α = (n − 2) × 180° / n. Il triangolo equilatero (n=3) ha 60°, il quadrato (n=4) ha 90°, il pentagono regolare (n=5) ha 108° e l'esagono regolare (n=6) ha 120°. L'angolo esterno — supplemento dell'angolo interno — vale sempre 360°/n. La somma di tutti gli angoli interni è (n−2) × 180°.

Che cos'è l'apotema di un poligono regolare?

L'apotema (detto anche raggio inscritto) è la distanza perpendicolare dal centro del poligono al punto medio di uno qualsiasi dei suoi lati. Per un poligono regolare con n lati di lunghezza a, l'apotema vale r = a / (2·tan(π/n)). È utile per calcolare l'area: A = ½ × perimetro × apotema, e corrisponde al raggio del cerchio inscritto massimo.

Il raggio circoscritto, R = a / (2·sin(π/n)), indica la distanza dal centro a un qualsiasi vertice.