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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Calcolatrice dell’angolo tra due vettori

Dati di input

a — componente x1
a — componente y0
a — componente z0
b — componente x1
b — componente y1
b — componente z0

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/angle-between-vectors

Matematica

Calcolatrice dell’angolo tra due vettori

Trova l’angolo tra due vettori a partire dalle loro componenti con la formula del prodotto scalare. Lo mostra in gradi o radianti, insieme al prodotto scalare, ai moduli e a una derivazione passo passo. Funziona in 2D (lascia z = 0) e in 3D.

Dati di input

Vettore a

Vettore b

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Dettagli

Derivazione passo passo

\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{(?)(?)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \theta &= \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right) \\ &= \arccos(?) \\ &= ? \end{aligned}

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L’angolo tra due vettori

Due vettori che condividono il punto di partenza formano un angolo. Questo angolo misura quanto i vettori siano allineati: un angolo piccolo significa che puntano quasi nella stessa direzione, un angolo retto che sono perpendicolari, un angolo piatto che puntano in direzioni opposte. Il prodotto scalare trasforma questa idea geometrica in una formula che si calcola direttamente dalle componenti.

La formula

Il prodotto scalare di due vettori è legato all’angolo che formano dalla relazione

a⋅b=∣a∣ ∣b∣cos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta

Ricavando l’angolo si ottiene la formula operativa:

θ=arccos⁡ ⁣(a⋅b∣a∣ ∣b∣)\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right)

La frazione interna è il coseno dell’angolo. Poiché dividere per i moduli elimina le lunghezze, contano solo le direzioni: scalare uno dei due vettori non cambia l’angolo.

Gli ingredienti

  • Prodotto scalare: a⋅b=axbx+ayby+azbz\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
  • Modulo: ∣a∣=ax2+ay2+az2|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}, e analogamente per b\mathbf{b}.
  • Coseno: si divide il prodotto scalare per il prodotto dei moduli. Il risultato cade sempre tra −1 e 1.
  • Angolo: si prende l’arcocoseno. La risposta è compresa tra 0° e 180°.

Esempio svolto

Siano a = (1, 0, 0) e b = (1, 1, 0).

Il prodotto scalare è

a⋅b=(1)(1)+(0)(1)+(0)(0)=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(0) = 1

I moduli sono

∣a∣=12+02+02=1,∣b∣=12+12+02=2|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1, \qquad |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}

Quindi il coseno dell’angolo è

cos⁡θ=1(1)(2)=12≈0,7071\cos\theta = \frac{1}{(1)(\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071

e l’angolo

θ=arccos⁡ ⁣(12)=45°=π4 rad\theta = \arccos\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45° = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}

Verifica di ortogonalità

L’angolo retto è il caso più facile da riconoscere. Quando il prodotto scalare è esattamente zero, il coseno è zero e l’angolo è 90°: i vettori sono perpendicolari, cioè ortogonali. Per a = (1, 0) e b = (0, 1) il prodotto scalare è (1)(0)+(0)(1)=0(1)(0) + (0)(1) = 0, quindi l’angolo tra loro è 90°. Per questo verificare a⋅b=0\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 è il modo abituale per controllare se due direzioni sono ad angolo retto.

Stessa direzione e direzioni opposte

Altri due casi di riferimento delimitano l’intervallo:

  • Quando i vettori puntano nella stessa direzione, il coseno è 1 e l’angolo è 0°.
  • Quando puntano in direzioni opposte, il coseno è −1 e l’angolo è 180°.

Ogni altra coppia si colloca tra questi estremi, ed è per questo che l’angolo tra due vettori cade sempre nell’intervallo da 0° a 180°.

Gradi o radianti

Lo stesso angolo si può leggere in entrambe le unità. I gradi dividono un giro completo in 360 parti; i radianti misurano l’angolo come lunghezza d’arco sulla circonferenza unitaria, con un giro completo pari a 2π2\pi. La conversione è 180°=π rad180° = \pi\ \text{rad}, quindi 45° è π/4\pi/4 e 90° è π/2\pi/2. Cambia l’unità sul risultato per ottenere la forma richiesta dal tuo problema.

2D e 3D

La formula è identica in due e tre dimensioni — cambia solo il numero di prodotti tra componenti. Per un problema piano in 2D, lascia entrambe le componenti z a 0; prodotto scalare, moduli e angolo risultano gli stessi come se i termini in z non fossero mai esistiti.

Dove compare

  • Fisica: il lavoro compiuto da una forza dipende dall’angolo tra forza e spostamento, W=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta.
  • Grafica al computer: l’angolo tra la normale di una superficie e la direzione della luce determina quanto la superficie viene illuminata.
  • Navigazione e geometria: trovare la differenza di rotta tra due direzioni, o l’angolo di un vertice a partire dai vettori dei lati.
  • Apprendimento automatico: la similarità del coseno tra vettori di caratteristiche è esattamente il coseno dell’angolo calcolato qui.

Domande frequenti (FAQ)

Come si trova l’angolo tra due vettori?

Si calcola il prodotto scalare a · b, lo si divide per il prodotto dei moduli |a| |b| per ottenere il coseno dell’angolo, quindi si applica l’arcocoseno: θ = arccos((a · b) / (|a| |b|)). Per a = (1, 0) e b = (1, 1): a · b = 1, |a| = 1, |b| = √2, quindi cos θ = 1/√2 e θ = 45°.

Funziona sia per i vettori in 2D che in 3D?

Sì. La formula del prodotto scalare è la stessa in ogni dimensione. Per un problema in 2D, lascia entrambe le componenti z a 0 e il risultato non cambia. In 3D, compila tutte e tre le componenti di ciascun vettore.

Come faccio a capire se due vettori sono perpendicolari?

Due vettori non nulli sono perpendicolari (ortogonali) esattamente quando il loro prodotto scalare è zero, il che rende l’angolo di 90°. Per esempio, (1, 0) e (0, 1) hanno prodotto scalare 0, quindi l’angolo tra loro è 90°.

In quale intervallo può cadere l’angolo?

L’angolo tra due vettori va da 0° a 180° (da 0 a π radianti). È 0° quando i vettori puntano nella stessa direzione, 90° quando sono perpendicolari e 180° quando puntano in direzioni opposte. La formula restituisce sempre l’angolo minore e non negativo tra le due direzioni.

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