Triangolo di Tartaglia

Numero di righe N	8
Colonna k	3

Numero di righe N

Colonna k

Ultimo aggiornamento: 2026-07-02

Definizione

Il triangolo di Tartaglia (noto anche come triangolo di Pascal) è una disposizione triangolare di numeri in cui ogni elemento è un coefficiente binomiale. La cima è un singolo $1$ (riga $0$ ) e ogni riga successiva inizia e termina con $1$ . La riga $n$ contiene i coefficienti:

\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}

Sono esattamente i numeri che compaiono nello sviluppo di $(a + b)^n$ , motivo per cui il triangolo si colloca al punto d’incontro tra calcolo combinatorio e algebra.

Costruzione

Ogni elemento interno è la somma dei due elementi immediatamente sopra. È la regola di Tartaglia:

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

Poiché le due diagonali esterne valgono sempre $1$ (c’è esattamente un modo per scegliere nessun elemento o tutti, quindi $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ ), l’intero triangolo si può costruire con la sola addizione a partire dalla cima:

Esempio svolto

Costruiamo $6$ righe e leggiamo l’elemento alla colonna $k = 2$ nell’ultima riga. Con $N = 6$ , l’ultima riga ha indice di riga $N - 1 = 5$ :

1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1

L’elemento in $k = 2$ è il coefficiente binomiale $\binom{5}{2}$ :

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10

Lo stesso valore segue dalla regola di Tartaglia usando la riga precedente ( $1, 4, 6, 4, 1$ ):

\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10

Somme delle righe

Gli elementi della riga $n$ sommano sempre a una potenza di due:

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

Ciò discende direttamente dal teorema binomiale con $a = b = 1$ : $(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ . Per la riga precedente, $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$ , un modo rapido per verificare che una riga sia stata copiata correttamente.

Schemi

Nel triangolo si nascondono diverse successioni note. La diagonale più esterna è fatta di soli $1$ ; la successiva conta i numeri naturali $1, 2, 3, 4, \ldots$ ; la terza dà i numeri triangolari $1, 3, 6, 10, \ldots$ . Sommando lungo le diagonali poco inclinate si ottiene la successione di Fibonacci. Ogni riga è inoltre simmetrica:

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

quindi si legge allo stesso modo da sinistra a destra e da destra a sinistra: scegliere quali $k$ elementi includere equivale a scegliere quali $n - k$ lasciare fuori.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos’è il triangolo di Tartaglia?

Il triangolo di Tartaglia (noto anche come triangolo di Pascal) è una disposizione triangolare di numeri in cui ogni elemento è un coefficiente binomiale. La cima è un singolo 1 (riga 0) e ogni riga successiva inizia e termina con 1. La riga n è C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n): i coefficienti che compaiono sviluppando (a + b)ⁿ. Per esempio la riga 4 è 1, 4, 6, 4, 1, corrispondente a (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Come si costruisce ogni elemento?

Ogni elemento interno è la somma dei due elementi immediatamente sopra. È la regola di Tartaglia: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Partendo dall’1 in cima, si può costruire l’intero triangolo con la sola addizione, senza calcolare alcun fattoriale. I bordi valgono sempre 1 perché C(n, 0) = C(n, n) = 1.

Perché ogni riga somma a una potenza di 2?

Gli elementi della riga n sommano a 2ⁿ. Ciò discende dal teorema binomiale con a = b = 1: (1 + 1)ⁿ = Σ C(n, k) = 2ⁿ. Così la riga 0 somma a 1, la riga 1 a 2, la riga 2 a 4 e la riga 10 a 1024. È un modo rapido per controllare che una riga sia stata scritta correttamente.

Quali schemi si nascondono nel triangolo di Tartaglia?

Diversi. La diagonale più esterna è fatta di soli 1; la successiva conta 1, 2, 3, 4, … (i numeri naturali); la terza dà i numeri triangolari 1, 3, 6, 10, …. Sommando lungo le diagonali poco inclinate si ottiene la successione di Fibonacci. Ogni riga è inoltre simmetrica perché C(n, k) = C(n, n − k), quindi si legge allo stesso modo da sinistra a destra e da destra a sinistra.

Triangolo di Tartaglia

Dati di input

Triangolo di Tartaglia