Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

L'equazione della circonferenza

Una circonferenza è l'insieme di tutti i punti che si trovano a una distanza fissa — il raggio $r$ — da un punto fisso — il centro $(h, k)$. Tradurre questa definizione in coordinate dà la forma canonica della circonferenza:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Sviluppando i quadrati e raccogliendo i termini si ottiene la forma generale:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Entrambe le equazioni descrivono la stessa circonferenza. La forma canonica mette in mostra centro e raggio; la forma generale li nasconde, ma è la veste che compare naturalmente quando un'equazione è data "grezza". Questo strumento converte tra le due in entrambi i versi.

Dalla forma generale al centro e al raggio

Data $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, centro e raggio sono:

$\text{centro} = \left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

Le coordinate del centro si leggono direttamente dai coefficienti di $x$ e $y$. Per il raggio, la quantità sotto la radice — il radicando $\tfrac{D^2}{4} + \tfrac{E^2}{4} - F$ — deve essere positiva affinché esista una circonferenza vera.

Completamento del quadrato

La conversione è semplicemente il completamento del quadrato applicato a entrambe le variabili contemporaneamente. Si parte dalla forma generale e si raggruppa:

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

Per completare ciascun quadrato, aggiungi a entrambi i membri il quadrato della metà del coefficiente lineare — $\left(\tfrac{D}{2}\right)^2$ per il gruppo in $x$ e $\left(\tfrac{E}{2}\right)^2$ per quello in $y$:

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

Il primo membro è ora la somma di due quadrati perfetti con centro $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, e il secondo membro è $r^2$. Questa è esattamente la forma canonica.

Esempio svolto

Problema: Trova centro e raggio di $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

Passo 1 — individuare i coefficienti: $D = -4$, $E = 6$, $F = 9$.

Passo 2 — trovare il centro:

$\text{centro} = \left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right) = (2,\ -3)$

Passo 3 — trovare il raggio:

$r = \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$

La circonferenza ha quindi centro $(2, -3)$ e raggio $2$, e la sua forma canonica è $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.

Dal centro e dal raggio di nuovo alla forma generale

Nel verso opposto, si sviluppano i quadrati della forma canonica. Con centro $(h, k)$ e raggio $r$:

$D = -2h \qquad E = -2k \qquad F = h^2 + k^2 - r^2$

Per l'esempio precedente, $h = 2$, $k = -3$, $r = 2$ danno $D = -4$, $E = 6$ e $F = 4 + 9 - 4 = 9$, recuperando la forma generale originaria $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

Quando non esiste una circonferenza reale

Il raggio è reale solo se il radicando è positivo:

$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$

Si presentano tre casi:

• Radicando positivo — una circonferenza reale con $r = \sqrt{\text{radicando}}$.
• Radicando nullo — l'equazione si riduce al solo punto $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, una "circonferenza puntuale" degenere di raggio $0$.
• Radicando negativo — nessun punto reale soddisfa l'equazione. Talvolta la si chiama circonferenza immaginaria; geometricamente non c'è nulla da disegnare.

Ad esempio, $x^2 + y^2 + 1 = 0$ ha $D = E = 0$ e $F = 1$, quindi il radicando è $-1$. Nessuna coppia reale $(x, y)$ può rendere una somma di quadrati uguale a $-1$, perciò non c'è circonferenza.

Perché la forma generale conta

La forma generale $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ è l'equazione di secondo grado in cui i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ sono uguali e non compare il termine $xy$ — la firma algebrica di una circonferenza tra le coniche. Riconoscerla permette di capire a colpo d'occhio se un'intricata equazione di secondo grado è una circonferenza (coefficienti quadratici uguali, nessun termine misto) prima di fare qualsiasi calcolo, e il completamento del quadrato ne svela poi centro e raggio.