Ultimo aggiornamento: 2026-05-16

La probabilità con i dadi

La probabilità di ottenere almeno una determinata somma lanciando N dadi è il rapporto tra gli esiti favorevoli e lo spazio campionario totale degli esiti equiprobabili, espresso come frazione ridotta ai minimi termini e come decimale. Il numero di esiti totali è $S^N$, dove $S$ è il numero di facce di ciascun dado e $N$ è il numero di dadi; la probabilità risultante è matematicamente esatta, non un'approssimazione.

Formula e metodo di calcolo

La probabilità di ottenere almeno una somma obiettivo si calcola così:

1. Contando tutti i risultati equiprobabili (totale = $S^N$)
2. Contando quanti di questi hanno somma $\geq T$
3. Dividendo e riducendo la frazione

Il numero di risultati con somma $\leq K$ per $N$ dadi da $S$ facce si ottiene tramite la formula chiusa di inclusione-esclusione:

$$\#\{\text{somma} \leq K\} = \sum_{j=0}^{\lfloor(K-N)/S\rfloor} (-1)^j \binom{N}{j} \binom{K - jS}{N}$$

Applicandola una volta con $K = T - 1$ e una con $K = N \cdot S$ si ottiene esattamente il numero di risultati con somma $\geq T$. La frazione visualizzata è matematicamente esatta.

$$P(\text{somma} \geq T) = \frac{\text{risultati con somma} \geq T}{S^N}$$

Il campo delle somme possibili

Con $N$ dadi a $S$ facce:

• Somma minima possibile = $N$ (ogni dado mostra 1)
• Somma massima possibile = $N \times S$ (ogni dado mostra il massimo)

Se $T \leq N$ la probabilità è 1 (l'obiettivo è sempre raggiunto). Se $T > N \times S$ la probabilità è 0 (impossibile). In tutti gli altri casi si ottiene una frazione non banale.

Risultati di riferimento comuni

Configurazione	Obiettivo	Probabilità	Decimale
1d6	≥ 4	3/6 = 1/2	0,5000
2d6	≥ 7	21/36 = 7/12	0,5833
2d6	≥ 10	6/36 = 1/6	0,1667
3d6	≥ 10	135/216 = 5/8	0,6250
1d20	≥ 15	6/20 = 3/10	0,3000
2d10	≥ 11	55/100 = 11/20	0,5500

Il risultato 2d6 ≥ 7 (7/12 ≈ 58,3%) è il riferimento classico: lanciando due dadi standard, ottenere almeno 7 è leggermente più probabile che non ottenerlo — un concetto molto citato nei giochi di ruolo da tavolo come D&D.

Significato della frazione

Un decimale come 0,5833 non rivela se la probabilità è esattamente 7/12 o un'approssimazione irrazionale. La frazione esatta indica:

• Denominatore = numero totale di risultati equiprobabili ($6^2 = 36$, ridotto a 12 dopo il MCD)
• Numeratore = risultati favorevoli (21, ridotti a 7)

Nel design di giochi da tavolo, conoscere la frazione aiuta a bilanciare le meccaniche. Nei corsi di probabilità, collega il risultato numerico all'argomento combinatorio sottostante.

Applicazioni

Giochi di ruolo da tavolo e giochi in scatola — la maggior parte delle meccaniche con dadi si riduce a «lancia questo gruppo e raggiungi almeno questa soglia». Le probabilità esatte aiutano i game designer a calibrare la difficoltà e i giocatori a prendere decisioni informate.

Corsi di probabilità — il problema del dado è un esempio standard di probabilità discreta. Calcolarlo a mano per 2d6 è fattibile; per 4d8 o 3d12 un calcolatore diventa necessario.

Analisi di giochi d'azzardo — dadi fissi con obiettivi fissi permettono di verificare i calcoli del vantaggio della casa usando frazioni esatte.

Intuizione statistica — capire perché 2d6 ≥ 7 è più probabile di 2d6 ≥ 8 esattamente di 6/36 sviluppa l'intuizione su come la massa di probabilità si distribuisce in una distribuzione discreta.

Interpretazione dei risultati

Il calcolatore restituisce due campi:

• Probabilità (frazione) — la frazione ridotta, es. 7/12. Se il denominatore supera il limite interno, viene mostrata una frazione semplificata approssimata.
• Probabilità (decimale) — lo stesso valore espresso con sei cifre decimali, es. 0,583333.

Un risultato di 1 (frazione 1/1) significa che l'obiettivo è raggiunto in tutti i risultati possibili. Un risultato di 0 significa che è impossibile con la configurazione indicata.

Limitazioni

• Numero massimo di dadi: fino a 10 dadi; oltre questo limite lo spazio degli stati cresce fino a dimensioni computazionalmente impraticabili.
• Facce non standard: questo calcolatore assume dadi con facce numerate da 1 a $S$. Dadi con valori insoliti (es. un d6 con 2, 3, 3, 4, 4, 5) richiedono un'analisi separata.
• Meccaniche di vantaggio/svantaggio: lanciare più dadi e tenere il più alto (o il più basso) è un calcolo diverso non coperto qui.
• Dadi esplosivi e rilanci: le probabilità cambiano quando i dadi possono innescare lanci aggiuntivi; anche queste meccaniche esulano dallo scopo di questo strumento.