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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Calcolatrice della distribuzione esponenziale

Dati di input

Tasso0,5
Valore3
Estremo inferiore1
Estremo superiore4

Grafico

f(t)
t f(t)

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/exponential-distribution

Matematica

Calcolatrice della distribuzione esponenziale

Calcola la densità f(x), la funzione di ripartizione P(X≤x), la probabilità di coda P(X>x), la probabilità dell’intervallo P(a≤X≤b), la media, la varianza e la mediana a partire dal tasso λ.

Dati di input

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Dettagli

Distribuzione

f(t)
t f(t)

Passaggi

\begin{aligned} f(x) &= \lambda e^{-\lambda x} \\ &= 0,5 \cdot e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \le x) &= 1 - e^{-\lambda x} \\ &= 1 - e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X > x) &= e^{-\lambda x} \\ &= e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(a \le X \le b) &= e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} \\ &= e^{-0,5 \cdot 1} - e^{-0,5 \cdot 4} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{\lambda} \\ &= \dfrac{1}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1}{\lambda^2} \\ &= \dfrac{1}{0,5^2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \text{median} &= \dfrac{\ln 2}{\lambda} \\ &= \dfrac{\ln 2}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}

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Distribuzione esponenziale

La distribuzione esponenziale è una distribuzione di probabilità continua che modella il tempo di attesa tra eventi indipendenti che si verificano a un tasso medio costante. È la controparte continua della distribuzione di Poisson: mentre Poisson conta quanti eventi si verificano in un intervallo fisso, l’esponenziale descrive quanto si attende tra di essi. Compare nell’ingegneria dell’affidabilità, nella teoria delle code e nell’analisi di sopravvivenza.

Formula

Dati un parametro di tasso λ > 0 e un valore x ≥ 0, la funzione di densità (PDF) è:

f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0

La funzione di ripartizione (CDF) dà la probabilità di un tempo di attesa al più pari a x:

P(X≤x)=1−e−λxP(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}

La funzione di sopravvivenza (probabilità di coda) ne è il complemento — la probabilità di attendere ancora dopo x:

P(X>x)=e−λxP(X > x) = e^{-\lambda x}

La probabilità che il tempo di attesa cada in un intervallo [a, b] è la differenza della funzione di sopravvivenza agli estremi:

P(a≤X≤b)=e−λa−e−λbP(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

Media, varianza e mediana sono funzioni compatte del tasso:

μ=1λ,σ2=1λ2,mediana=ln⁡2λ\mu = \frac{1}{\lambda}, \qquad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad \text{mediana} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Esempio svolto

Una linea di assistenza riceve chiamate a un tasso medio di λ = 0,5 chiamate al minuto, quindi l’intervallo medio è 1/0,5 = 2 minuti. Qual è la probabilità che la prossima chiamata arrivi entro 3 minuti?

Con la CDF e x = 3:

P(X≤3)=1−e−0,5×3=1−e−1,5≈0,7769P(X \leq 3) = 1 - e^{-0,5 \times 3} = 1 - e^{-1,5} \approx 0,7769

C’è una probabilità del 77,7 % che la prossima chiamata arrivi entro 3 minuti. La probabilità di attendere più di 3 minuti è il complemento:

P(X>3)=e−1,5≈0,2231P(X > 3) = e^{-1,5} \approx 0,2231

La probabilità che l’attesa cada tra 1 e 4 minuti è:

P(1≤X≤4)=e−0,5−e−2≈0,6065−0,1353=0,4712P(1 \leq X \leq 4) = e^{-0,5} - e^{-2} \approx 0,6065 - 0,1353 = 0,4712

La densità in x = 3 è:

f(3)=0,5 e−1,5≈0,1116f(3) = 0,5 \, e^{-1,5} \approx 0,1116

Derivazione della formula

La CDF si ottiene direttamente integrando la densità da 0 a x:

P(X≤x)=∫0xλe−λt dt=[−e−λt]0x=1−e−λxP(X \leq x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\, dt = \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}

La media si trova integrando x contro la densità:

μ=∫0∞x λe−λx dx=1λ\mu = \int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\, dx = \frac{1}{\lambda}

La mediana risolve P(X ≤ m) = 0,5:

1−e−λm=12  ⟹  e−λm=12  ⟹  m=ln⁡2λ1 - e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; m = \frac{\ln 2}{\lambda}

Poiché ln 2 ≈ 0,693 < 1, la mediana è sempre minore della media 1/λ, riflettendo l’asimmetria a destra della distribuzione.

La proprietà di assenza di memoria

La distribuzione esponenziale è l’unica distribuzione continua priva di memoria:

P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

Aver già atteso s unità di tempo non fornisce alcuna informazione sull’attesa residua. Per questo il modello è adatto a componenti con tasso di guasto costante — parti che non "invecchiano" in senso statistico — e fonda la proprietà di Markov dei processi a tempo continuo.

Relazione con altre distribuzioni

  • Poisson: se gli eventi seguono un processo di Poisson con tasso λ, il conteggio in un intervallo fisso è Poisson(λ) e il tempo tra eventi consecutivi è Esponenziale(λ). Contare usa Poisson; misurare gli intervalli usa l’esponenziale.
  • Geometrica: la geometrica modella il numero di prove discrete fino al primo successo. L’esponenziale ne è l’analogo a tempo continuo.
  • Gamma: la somma di k tempi di attesa Esponenziale(λ) indipendenti segue una Gamma(k, λ) — il tempo fino al k-esimo evento di un processo di Poisson.
  • Weibull: l’esponenziale è il caso speciale della Weibull con parametro di forma 1, corrispondente a un tasso di rischio costante.

Applicazioni pratiche

  • Ingegneria dell’affidabilità: modellare il tempo al guasto di componenti con tasso di rischio costante, base della fase di "vita utile" della curva a vasca da bagno.
  • Teoria delle code: rappresentare i tempi tra arrivi e di servizio nei modelli M/M/1 e affini.
  • Analisi di sopravvivenza: modello di rischio di base per dati tempo-all’evento in medicina e attuariato.
  • Fisica: descrivere il tempo tra decadimenti radioattivi, in cui ogni nucleo decade in modo indipendente a tasso fisso.
  • Telecomunicazioni: modellare il tempo di inattività tra arrivi di pacchetti nell’analisi del traffico di rete.

Domande frequenti (FAQ)

Quando è appropriata la distribuzione esponenziale?

Usa la distribuzione esponenziale per modellare il tempo di attesa tra eventi indipendenti che si verificano a un tasso medio costante. Esempi tipici sono il tempo fino all’arrivo del prossimo cliente, la durata di un componente con tasso di guasto costante e l’intervallo tra decadimenti radioattivi. È la controparte continua della distribuzione geometrica e il partner "tempo di attesa" della distribuzione di Poisson.

Che cos’è la proprietà di assenza di memoria?

La distribuzione esponenziale è l’unica distribuzione continua priva di memoria: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Aver già atteso s unità di tempo non fornisce alcuna informazione su quanto ancora si dovrà attendere: l’attesa residua ha la stessa distribuzione di un nuovo inizio. Per questo modella sistemi senza usura, come un componente il cui tasso di guasto non cresce con l’età.

Qual è la differenza tra il tasso λ e la media?

Il tasso λ conta quanti eventi si verificano per unità di tempo, mentre la media 1/λ misura il tempo medio tra eventi. Sono reciproci: se gli eventi arrivano a λ = 2 all’ora, l’intervallo medio è 1/2 = 0,5 ore. Alcuni testi parametrizzano l’esponenziale con la media (spesso detta scala) invece che con il tasso; questa calcolatrice usa il tasso λ.

Come si collega la distribuzione esponenziale a quella di Poisson?

Descrivono lo stesso processo da due prospettive. Se gli eventi seguono un processo di Poisson con tasso λ, il numero di eventi in un intervallo fisso segue una distribuzione di Poisson e il tempo tra eventi consecutivi segue una distribuzione esponenziale con lo stesso tasso λ. Contare gli eventi usa Poisson; misurare gli intervalli usa l’esponenziale.

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