Ultimo aggiornamento: 2026-05-26

Integrale definito

L'integrale definito misura l'area con segno compresa tra una funzione e l'asse delle ascisse su un intervallo chiuso $[a, b]$:

$\int_a^b P(x)\,dx$

"Con segno" significa che le aree al di sotto dell'asse delle ascisse contribuiscono con valore negativo. Se la curva scende sotto lo zero in una parte dell'intervallo, quel tratto si sottrae al totale. Il risultato è un numero, non una funzione.

Il Teorema Fondamentale del Calcolo

Il risultato che rende pratico il calcolo integrale è il Teorema Fondamentale del Calcolo (TFC):

$\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a)$

dove $F(x)$ è una qualsiasi primitiva di $P(x)$, ossia una funzione tale che $F'(x) = P(x)$.

Invece di sommare infiniti rettangoli infinitesimi, è sufficiente:

1. Determinare la primitiva $F(x)$.
2. Calcolare $F$ nei due estremi.
3. Sottrarre.

La regola della potenza per l'integrazione

Per i polinomi, la primitiva di ogni termine si ottiene con la regola della potenza:

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$

Applicando questa regola termine per termine si integra esattamente qualsiasi polinomio.

Esempio — ∫₀² (3x² − 1) dx:

Termine	Regola della potenza	Termine della primitiva
$3x^2$	$3 \cdot \dfrac{x^3}{3}$	$x^3$
$-1$	$-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}$	$-x$

Quindi $F(x) = x^3 - x$.

$\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6$

Come inserire i coefficienti

I coefficienti del polinomio vanno inseriti dal grado più alto al più basso, separati da virgola.

Polinomio	Coefficienti da inserire
$x^2$	1, 0, 0
$3x^2 - 1$	3, 0, -1
$2x^3 + x - 5$	2, 0, 1, -5
$7$ (costante)	7

Il numero di valori determina il grado: quattro valori corrispondono a un polinomio di grado 3.

Area con segno e inversione degli estremi

L'integrale definito fornisce un'area con segno, con due conseguenze importanti:

Quando la curva è al di sotto dell'asse: il contributo è negativo. Ad esempio, $\int_0^1 (-x)\,dx = -\dfrac{1}{2}$, anche se la regione geometrica ha area $\dfrac{1}{2}$.

Quando $a > b$: l'integrale è l'opposto dell'integrale calcolato da $b$ ad $a$:

$\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx$

Non si tratta di un errore: è una proprietà fondamentale dell'integrale. Il calcolatore gestisce correttamente questo caso; inserendo $a = 2, b = 0$ si ottiene il valore cambiato di segno rispetto ad $a = 0, b = 2$.

La costante di integrazione

Negli integrali indefiniti si scrive $F(x) + C$, dove $C$ è una costante arbitraria. Negli integrali definiti, $C$ si cancella:

$[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

La costante di integrazione è quindi irrilevante per gli integrali definiti e viene omessa dalla primitiva mostrata dal calcolatore.

Quando ricorrere all'integrazione numerica

La regola della potenza è valida solo per i polinomi ($x^n$ con $n$ intero, $n \geq 0$). Per altre funzioni è necessario impiegare metodi numerici:

Tipo di funzione	Metodo consigliato
$\sin x$, $\cos x$, $e^x$	Primitive note (risultato esatto)
Funzioni razionali e algebriche	Frazioni parziali, sostituzione
Nessuna primitiva in forma chiusa	Regola di Simpson, quadratura gaussiana

Se l'integrando non può essere espresso come polinomio, questo calcolatore non è lo strumento adatto: occorre un metodo di integrazione numerica o un sistema di calcolo simbolico.

Applicazioni pratiche

Gli integrali definiti compaiono in numerosi ambiti della scienza e dell'ingegneria:

• Fisica: spostamento a partire dalla velocità ($\int v\,dt$), lavoro compiuto da una forza ($\int F\,dx$).
• Economia: surplus del consumatore (area tra la curva di domanda e il prezzo di mercato).
• Probabilità e statistica: la probabilità che una variabile aleatoria continua cada nell'intervallo $[a, b]$ è $\int_a^b f(x)\,dx$, dove $f$ è la funzione di densità.
• Geometria: area tra due curve, volume di solidi di rotazione.

Domande frequenti (FAQ)

È possibile integrare qualsiasi funzione con questo calcolatore?

Il calcolatore gestisce esclusivamente i polinomi — funzioni della forma P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. Per queste funzioni la primitiva si ottiene termine per termine con la regola della potenza, producendo un risultato esatto senza errori di approssimazione. Per funzioni non polinomiali (sin, eˣ, ln x e simili) è necessario ricorrere a metodi di integrazione numerica come la regola di Simpson o la quadratura gaussiana.

Cosa succede se l'estremo inferiore è maggiore di quello superiore (a > b)?

Il calcolatore restituisce comunque il risultato corretto come area con segno. Per la proprietà degli integrali definiti, ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx. Se a > b il risultato sarà il negativo dell'integrale calcolato da b ad a. Questa convenzione è matematicamente valida ed è utile, ad esempio, nella definizione degli integrali doppi e degli integrali di flusso.

Cos'è la primitiva e perché è utile?

La primitiva F(x) di P(x) è una funzione la cui derivata vale P(x). Per un monomio aₙxⁿ, la regola della potenza dà aₙxⁿ⁺¹/(n+1). Per integrare un polinomio si applica questa regola a ciascun termine e si sommano i contributi. Il Teorema Fondamentale del Calcolo afferma poi che ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a), riducendo il problema dell'integrazione a una semplice sostituzione.

Perché la costante di integrazione non viene mostrata?

Nel calcolo di un integrale definito la costante di integrazione C si cancella: [F(x) + C] valutato tra a e b dà (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). La costante non influisce sul risultato e viene pertanto omessa per convenzione. Essa è rilevante soltanto negli integrali indefiniti, dove la famiglia delle primitive si scrive F(x) + C.