Ultimo aggiornamento: 2026-06-05

Definizione

La moltiplicazione di matrici (o prodotto tra matrici) è un'operazione binaria che combina due matrici per produrne una terza. Date due matrici quadrate A e B di ordine n, il loro prodotto C = A·B è la matrice il cui elemento in posizione (i, j) si calcola come il prodotto scalare della riga i di A per la colonna j di B.

Questa operazione è distinta dalla moltiplicazione elemento per elemento (nota come prodotto di Hadamard): nel prodotto matriciale ogni elemento del risultato dipende da un'intera riga e un'intera colonna, non da una singola coppia di elementi corrispondenti.

Formula

Per due matrici quadrate di ordine n, l'elemento c_{ij} della matrice prodotto C = A·B si ottiene con:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$$

dove a_{ik} è l'elemento alla riga i, colonna k di A, e b_{kj} è l'elemento alla riga k, colonna j di B.

Per una matrice 2×2 la formula esplicita è:

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

Il costo computazionale del prodotto tra due matrici n×n è dell'ordine di n³ moltiplicazioni scalari con l'algoritmo standard (algoritmo scolastico). Per matrici molto grandi esistono algoritmi più efficienti, come l'algoritmo di Strassen.

Esempio numerico

Si consideri il prodotto tra le matrici 2×2 seguenti:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$

Il calcolo di ciascun elemento di C = A·B avviene come segue:

• c_{11} = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
• c_{12} = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
• c_{21} = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
• c_{22} = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

Il risultato è quindi:

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$

Non commutatività

Il prodotto tra matrici non è commutativo: in generale A·B ≠ B·A. Riprendendo l'esempio precedente:

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$$

Il confronto mostra che A·B = [[19,22],[43,50]] mentre B·A = [[23,34],[31,46]]: i due risultati sono diversi. La non commutatività del prodotto matriciale rispecchia il fatto che l'ordine in cui si compongono le trasformazioni geometriche è rilevante.

Il prodotto è invece associativo: (A·B)·C = A·(B·C), il che consente di raggruppare i calcoli nel modo computazionalmente più conveniente.

Matrice identità

La matrice identità I di ordine n è la matrice quadrata con tutti 1 sulla diagonale principale e 0 altrove. Essa è l'elemento neutro del prodotto matriciale: per qualsiasi matrice quadrata A vale A·I = I·A = A. La matrice identità è uno dei pochi casi in cui il prodotto commuta con un'altra matrice.

Per ordine 2:

$$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Per ordine 3:

$$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Interpretazione geometrica

Nel piano e nello spazio tridimensionale, ogni matrice quadrata rappresenta una trasformazione lineare: una rotazione, una riflessione, una dilatazione, una contrazione o una combinazione di esse. Il prodotto A·B corrisponde alla composizione delle due trasformazioni: si applica prima B, poi A.

L'ordine conta perché la composizione di trasformazioni non è commutativa: ruotare un vettore di 90° e poi riflettere rispetto all'asse x produce un risultato diverso rispetto alla sequenza inversa. Il prodotto matriciale cattura questa dipendenza dall'ordine in modo algebricamente preciso.

Applicazioni

Grafica 3D e motori di rendering

Nella grafica tridimensionale — dai videogiochi ai software CAD — ogni oggetto può essere ruotato, scalato e traslato attraverso moltiplicazioni di matrici 4×4 (in coordinate omogenee). Per applicare una sequenza di trasformazioni, si moltiplica l'insieme delle matrici corrispondenti in un'unica matrice combinata, che viene poi applicata a ogni vertice della mesh. L'ottimizzazione di questa operazione è uno dei motivi per cui le unità di elaborazione grafica (GPU) dispongono di hardware dedicato al calcolo matriciale.

Sistemi di equazioni lineari

Il sistema di n equazioni lineari in n incognite si scrive in forma compatta come Ax = b, dove A è la matrice dei coefficienti, x il vettore delle incognite e b il vettore dei termini noti. Il collegamento con il prodotto matriciale è diretto: calcolare A·x significa applicare la trasformazione lineare A al vettore x. Per la risoluzione di sistemi 2×2, vedere anche la calcolatrice per Risolvere un sistema lineare 2×2 — Regola di Cramer.

Reti neurali e apprendimento automatico

Nelle reti neurali artificiali, la propagazione dei segnali da uno strato all'altro si esegue tramite prodotti matriciali: il vettore di attivazione di uno strato viene moltiplicato per la matrice dei pesi per ottenere l'input dello strato successivo. Con reti profonde che elaborano milioni di parametri, l'efficienza del prodotto matriciale è critica, e sia le GPU che i processori neurali dedicati sono progettati per massimizzarla.

Altre applicazioni

Il prodotto matriciale compare anche in:

• trasformazioni di coordinate in fisica e meccanica strutturale;
• analisi delle reti di comunicazione e modelli di Markov;
• calcolo delle potenze di una matrice (ad esempio per la progressione di un sistema dinamico discreto).

Domande frequenti (FAQ)

Il prodotto tra matrici è commutativo?

No. In generale, A·B ≠ B·A. Ad esempio, con A = [[1,2],[3,4]] e B = [[5,6],[7,8]], si ottiene A·B = [[19,22],[43,50]] ma B·A = [[23,34],[31,46]]. Casi particolari come la matrice identità o le matrici diagonali possono commutare, ma si tratta di eccezioni alla regola generale.

Quale significato geometrico ha il prodotto tra matrici?

Ogni matrice rappresenta una trasformazione lineare dello spazio: una combinazione di rotazioni, riflessioni, riscalamenti e trasformazioni di taglio. Il prodotto A·B corrisponde alla composizione di tali trasformazioni: prima si applica B, poi si applica A. L'ordine è determinante, perché applicare prima una rotazione e poi una trasformazione di taglio produce un risultato diverso rispetto alla sequenza inversa.

È possibile moltiplicare matrici non quadrate?

Sì, a condizione che il numero di colonne di A sia uguale al numero di righe di B. Il prodotto di una matrice m×n per una matrice n×p restituisce una matrice m×p. Questo calcolatore è dedicato alle matrici quadrate 2×2 e 3×3, che rappresentano i casi più frequenti nei corsi di algebra lineare e nella grafica 2D e 3D.

Come viene utilizzato il prodotto tra matrici nella grafica 3D?

Nella grafica tridimensionale, ogni rotazione, dilatazione e traslazione di un oggetto è codificata come una matrice 4×4 (mediante coordinate omogenee). Per sottoporre un oggetto a una sequenza di trasformazioni — ad esempio ruotarlo, poi scalarlo, poi traslarlo — si moltiplicano le tre matrici corrispondenti ottenendo un'unica matrice combinata, che viene quindi applicata a ciascun vertice. Per questa ragione le unità di elaborazione grafica (GPU) sono ottimizzate per il calcolo del prodotto matriciale.