Risolvere un sistema lineare 2×2 — Regola di Cramer

Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Sistema di equazioni lineari 2×2

Un sistema di equazioni lineari con due incognite ha la forma:

$$a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2$$

Dati i sei coefficienti (a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂), il calcolatore applica la regola di Cramer per determinare x e y, oppure classifica il sistema come impossibile (nessuna soluzione) o indeterminato (infinite soluzioni). I passaggi intermedi sono riportati per esteso.

La regola di Cramer

Il primo passaggio è calcolare il determinante della matrice dei coefficienti:

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Quando D ≠ 0, la soluzione unica del sistema è:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Ogni numeratore è il determinante della matrice ottenuta sostituendo una colonna dei coefficienti con il vettore dei termini noti. Matematicamente corrisponde allo sviluppo componente per componente della formula $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.

Significato geometrico

Ogni equazione $ax + by = c$ rappresenta una retta nel piano xy. Risolvere il sistema equivale a trovare il punto di intersezione delle due rette.

• D ≠ 0 (soluzione unica): le rette si intersecano in un solo punto. La matrice dei coefficienti è invertibile.
• D = 0 e numeratori nulli (infinite soluzioni): le rette sono coincidenti — un'equazione è multiplo dell'altra. Ogni punto di quella retta è soluzione.
• D = 0 e almeno un numeratore non nullo (nessuna soluzione): le rette sono parallele e non si incontrano. Nessuna coppia (x, y) soddisfa entrambe le equazioni.

Esempio svolto

Il sistema con i valori predefiniti si risolve come segue:

$2x + 3y = 8 \quad \text{e} \quad x - y = 1$

Passo 1 — Calcolo del determinante:

$D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Poiché D ≠ 0, il sistema ha soluzione unica.

Passo 2 — Calcolo di x:

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2{,}2$

Passo 3 — Calcolo di y:

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1{,}2$

Verifica:

$2 \times 2{,}2 + 3 \times 1{,}2 = 4{,}4 + 3{,}6 = 8 \checkmark \quad \text{e} \quad 2{,}2 - 1{,}2 = 1 \checkmark$

Quando il determinante è zero

Se D = 0, le due righe della matrice dei coefficienti sono proporzionali: $[a_1, b_1] = k\,[a_2, b_2]$. La natura del sistema dipende dai termini noti:

• Se $c_1 = k\,c_2$, entrambi i numeratori di Cramer sono nulli → infinite soluzioni.
• Se $c_1 \neq k\,c_2$, almeno un numeratore è non nullo → nessuna soluzione.

In pratica è sufficiente calcolare $c_1 b_2 - c_2 b_1$ e $a_1 c_2 - a_2 c_1$: se entrambi sono nulli insieme a D = 0 il sistema è indeterminato; altrimenti è impossibile.

Domande frequenti (FAQ)

A cosa serve il determinante in un sistema di equazioni?

Il determinante D = a₁b₂ − a₂b₁ indica se la matrice dei coefficienti è invertibile. Se D ≠ 0, le due rette si intersecano in un punto unico e il sistema ha soluzione unica. Se D = 0, le rette sono parallele o coincidenti: il sistema è impossibile (nessuna soluzione) o indeterminato (infinite soluzioni).

Quando un sistema lineare ha infinite soluzioni?

Quando entrambe le equazioni descrivono la stessa retta, cioè una è un multiplo dell'altra. In questo caso il determinante e i due numeratori di Cramer sono tutti nulli, e ogni punto di quella retta soddisfa contemporaneamente il sistema.

Regola di Cramer o sostituzione: quale metodo scegliere?

La sostituzione è comoda per sistemi semplici risolti a mano. La regola di Cramer fornisce direttamente una formula chiusa, risultando più efficiente quando la matrice dei coefficienti è fissa e solo il vettore dei termini noti cambia, oppure quando si vuole esprimere la soluzione in forma simbolica.

Perché D = 0 non significa sempre che il sistema è impossibile?

D = 0 indica soltanto che la matrice è singolare: le due equazioni sono linearmente dipendenti. Se i termini noti sono proporzionali ai coefficienti (sistema compatibile), esistono infinite soluzioni. Solo quando almeno un numeratore di Cramer è diverso da zero il sistema è effettivamente impossibile.