Ultimo aggiornamento: 2026-05-22

Definizione

Il fattoriale di un intero non negativo $n$, scritto $n!$, è il prodotto di tutti gli interi positivi da 1 fino a $n$:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Alcuni valori utili da ricordare:

n	n!
0	1 (per definizione)
1	1
5	120
10	3.628.800
20	2.432.902.008.176.640.000

Convenzione 0! = 1

$0! = 1$ discende dalla relazione ricorsiva $n! = n \times (n-1)!$: sostituendo $n = 1$ si ottiene $1! = 1 \times 0!$, il che richiede $0! = 1$. Concettualmente, c'è esattamente un modo di disporre zero oggetti: non fare nulla. Questa convenzione garantisce che le formule per permutazioni e combinazioni siano valide anche ai casi limite.

Crescita e approssimazione di Stirling

I fattoriali crescono più velocemente di qualsiasi funzione esponenziale. Già per $n = 13$ il risultato supera 6 miliardi ($13! = 6{.}227{.}020{.}800$), e per $n = 20$ il numero ha 19 cifre. Per questo motivo la calcolatrice è limitata a $n \leq 20$.

Per valori grandi di $n$, l'approssimazione di Stirling fornisce una stima accurata:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Applicazioni

Contare le disposizioni. Il numero di modi di ordinare $n$ oggetti distinti in fila è esattamente $n!$. Cinque libri possono essere sistemati su uno scaffale in $5! = 120$ ordini diversi.

Permutazioni e combinazioni. Entrambe le formule sono costruite a partire dai fattoriali:

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

Calcolo delle probabilità. I fattoriali compaiono nella distribuzione binomiale, nella distribuzione di Poisson e in qualsiasi calcolo di probabilità discrete su esiti ordinati.

Analisi matematica. Le serie di Taylor usano i fattoriali al denominatore per controllare la crescita dei termini successivi. La serie dell'esponenziale è $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.

Note pratiche

Risultati interi esatti. Per $n \leq 20$, la calcolatrice restituisce il valore esatto senza arrotondamenti.

Permutazioni e combinazioni. La Calcolatore di disposizioni — P(n, r) calcola $P(n, r)$ e la Calcolatore di combinazioni — C(n, r) calcola $C(n, r)$ direttamente — senza dover calcolare i fattoriali separatamente.

Domande frequenti (FAQ)

Cos'è il fattoriale?

Il fattoriale di un intero non negativo n, scritto n!, è il prodotto di tutti gli interi positivi da 1 fino a n. Ad esempio, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per convenzione, 0! = 1. I fattoriali crescono molto rapidamente: 20! supera già 2,4 × 10¹⁸.

Perché 0! è uguale a 1?

0! = 1 discende dalla relazione ricorsiva n! = n × (n−1)!: sostituendo n = 1 si ottiene 1! = 1 × 0!, il che richiede 0! = 1. Concettualmente, c'è esattamente un modo di disporre zero oggetti: non fare nulla. Questa convenzione garantisce che le formule per permutazioni e combinazioni siano valide anche ai casi limite.

In quali ambiti si usano i fattoriali?

I fattoriali compaiono in combinatoria (permutazioni e combinazioni), nella teoria della probabilità (coefficienti binomiali), nell'analisi matematica (serie di Taylor come eˣ = Σ xⁿ/n!) e nella teoria dei numeri. Ogni volta che si conta il numero di disposizioni ordinate di n oggetti distinti, è coinvolto un fattoriale.