Ultimo aggiornamento: 2026-07-02

Che cosa fa questa calcolatrice

Questa calcolatrice esegue un’analisi della varianza (ANOVA) a una via su tre gruppi. Incolla i valori grezzi di ciascun gruppo e ottieni la tabella ANOVA completa — le somme dei quadrati tra ed entro i gruppi, i loro gradi di libertà e i quadrati medi — insieme alla statistica F, al suo valore p e a una decisione di significatività in linguaggio chiaro.

A cosa risponde l’ANOVA a una via

Tre gruppi producono tre medie, e queste medie non sono quasi mai identiche anche quando i gruppi provengono dallo stesso processo: già il campionamento casuale genera una certa dispersione. L’ANOVA a una via pone una domanda precisa: se le tre medie di popolazione fossero davvero uguali, quanto sarebbero sorprendenti differenze tra le medie campionarie così grandi? La risposta è il valore p.

L’idea è confrontare due fonti di variazione. Parte della dispersione dei dati aggregati deriva dal fatto che i gruppi si collocano su livelli diversi; il resto deriva dalla dispersione naturale delle osservazioni attorno alla propria media di gruppo. Se la prima fonte è grande rispetto alla seconda, le medie dei gruppi probabilmente non sono uguali.

Le somme dei quadrati

L’ANOVA divide la variazione totale in una parte tra i gruppi e una parte entro i gruppi.

La somma dei quadrati tra i gruppi misura quanto ciascuna media di gruppo si discosta dalla media generale $\bar{x}$ (la media di tutte le osservazioni aggregate), ponderata per la dimensione del gruppo $n_j$:

La somma dei quadrati entro i gruppi misura quanto ciascuna osservazione $x_{ij}$ si discosta dalla propria media di gruppo $\bar{x}_j$:

Gradi di libertà e quadrati medi

Ogni somma dei quadrati diventa un quadrato medio dividendola per i suoi gradi di libertà. Con $k$ gruppi e $N$ osservazioni totali:

Il quadrato medio entro i gruppi $MS_W$ è una stima combinata della varianza d’errore comune. Il quadrato medio tra i gruppi $MS_B$ stima la stessa varianza solo quando le medie dei gruppi sono uguali; quando differiscono, risulta gonfiato.

La statistica F

La statistica test è il rapporto tra i due quadrati medi:

Quando tutte le medie di popolazione sono uguali, entrambi i quadrati medi stimano la stessa varianza e $F$ si aggira attorno a 1. Quando le medie dei gruppi differiscono davvero, il numeratore cresce e $F$ sale sopra 1. Il valore p è l’area della coda superiore della distribuzione F con $(df_B, df_W)$ gradi di libertà oltre l’$F$ osservato:

Esempio svolto

Supponiamo che tre metodi d’insegnamento vengano testati con cinque studenti ciascuno:

• Gruppo 1: 85, 90, 88, 92, 87 (media 88,4)
• Gruppo 2: 78, 82, 80, 85, 79 (media 80,8)
• Gruppo 3: 91, 95, 93, 96, 94 (media 93,8)

La media generale è $\bar{x} \approx 87,67$, con $N = 15$ e $k = 3$.

Con $p \approx 0{,}00001$, molto al di sotto di 0,05, c’è una prova forte che almeno un metodo d’insegnamento produca una media diversa.

Dopo un risultato significativo

Un’ANOVA significativa dice che almeno una media di gruppo differisce, non quale. Per individuare le differenze, prosegui con una procedura post hoc come l’HSD di Tukey o confronti a coppie con Calcolatore del test t a due campioni (Welch) corretti per i test multipli. Accompagna il verdetto con una misura della dimensione dell’effetto, come l’eta quadro, che descrive quanta parte della variazione totale è spiegata dalle differenze tra gruppi.

Ipotesi

L’ANOVA a una via si fonda su alcune condizioni:

• Indipendenza — i tre gruppi sono indipendenti, e le osservazioni all’interno di ciascun gruppo sono indipendenti.
• Normalità approssimata — i valori di ogni gruppo sono all’incirca normali, oppure i campioni sono abbastanza grandi da far valere il teorema del limite centrale.
• Omogeneità delle varianze — i gruppi hanno una dispersione simile. Quando le varianze differiscono in modo marcato, un’ANOVA con correzione di Welch è più affidabile della forma classica usata qui.

Quando i gruppi sono solo due, l’ANOVA classica si riduce esattamente a un confronto tra medie; il corrispettivo diretto per due gruppi è la Calcolatore del test t a due campioni (Welch). Per esaminare prima la dispersione all’interno di un singolo gruppo, la Calcolatore di Varianza e Deviazione Standard e le Calcolatore di Statistica Descrittiva ne riassumono centro e dispersione.