Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Crescita e decadimento esponenziale

Una grandezza cresce o decade esponenzialmente quando la sua velocità di variazione è proporzionale alle sue dimensioni attuali. Più è grande, più cambia in fretta. Questo schema descrive popolazioni, saldi a interesse composto, materiale radioattivo, concentrazioni di farmaci e la diffusione iniziale di un’epidemia. Il modello comune che li accomuna è:

N = N₀ (1 ± r)^t

Qui N₀ è il valore iniziale, r il tasso per periodo, t il tempo trascorso e N la quantità dopo quel tempo. Il segno più dà la crescita, il segno meno il decadimento.

Crescita e decadimento

L’unica differenza tra crescita e decadimento è il segno del tasso. Nella crescita il fattore (1 + r) è maggiore di 1, quindi a ogni periodo la quantità viene amplificata e la curva sale sempre più ripida. Nel decadimento il fattore (1 − r) è compreso tra 0 e 1, quindi a ogni periodo la quantità viene ridotta e la curva scende verso lo zero, senza mai raggiungerlo.

Discreto e continuo

Ci sono due modi comuni di applicare il tasso.

Il modello discreto, N₀ (1 ± r)^t, applica il tasso una volta per periodo intero. Si adatta a situazioni che cambiano a passi: interessi accreditati una volta l’anno, una popolazione censita a ogni generazione, un saldo aggiornato ogni mese.

Il modello continuo, N₀ · e^(kt), applica il tasso a ogni istante, dove k è il tasso continuo ed e ≈ 2,71828. Si adatta a processi che cambiano in modo regolare in continuazione: decadimento radioattivo, interesse composto continuo, reazioni chimiche del primo ordine. A parità di tasso nominale, il modello continuo cresce un po’ più velocemente, perché ogni piccolo guadagno inizia subito a comporsi.

Tempo di raddoppio ed emivita

Poiché il tasso è una percentuale fissa, una grandezza crescente impiega sempre lo stesso tempo a raddoppiare, indipendentemente dalle sue dimensioni attuali, e una grandezza in decadimento impiega sempre lo stesso tempo a dimezzarsi. Queste costanti sono il tempo di raddoppio e l’emivita.

Per il modello discreto:

• Tempo di raddoppio = ln 2 ÷ ln(1 + r)
• Emivita = −ln 2 ÷ ln(1 − r)

Per il modello continuo entrambi si riducono a ln 2 ÷ k, poiché il modulo del tasso è lo stesso in entrambe le direzioni.

Una scorciatoia utile è la regola del 70: dividi 70 per il tasso percentuale per stimare il tempo di raddoppio. Al 5 % annuo, il raddoppio richiede circa 70 ÷ 5 = 14 anni, vicino ai 14,21 anni esatti.

Esempio svolto

Problema: Una città di 1.000 abitanti cresce del 5 % all’anno. Quanti abitanti dopo 10 anni e in quanto tempo la città raddoppia?

Con il modello discreto di crescita:

N = 1000 × (1 + 0,05)^10 = 1000 × 1,62889 ≈ 1.629 abitanti

Tempo di raddoppio = ln 2 ÷ ln(1,05) ≈ 0,6931 ÷ 0,04879 ≈ 14,21 anni

Dopo un decennio la popolazione è quindi di circa 1.629 e, a questo ritmo, raggiungerà 2.000 in poco più di quattordici anni.

Un esempio di decadimento

Problema: Una dose di 200 mg di un farmaco decade in modo continuo a un tasso di 0,231 all’ora. Quanto ne rimane dopo 6 ore e qual è l’emivita?

N = 200 × e^(−0,231 × 6) = 200 × e^(−1,386) ≈ 50 mg

Emivita = ln 2 ÷ 0,231 ≈ 3 ore

Il risultato di 50 mg dopo 6 ore è esattamente un quarto della dose, il che ha senso: 6 ore corrispondono a due emivite, quindi la quantità si è dimezzata due volte.

Relazione con l’interesse composto

La crescita esponenziale è il motore matematico dell’interesse composto. Il modello discreto, con r come tasso d’interesse periodico, è identico alla formula dell’interesse composto, e il modello continuo corrisponde all’interesse composto continuo. Questo calcolatore mantiene un’impostazione generale, così da applicarsi allo stesso modo a biologia, fisica e finanza.