Ultimo aggiornamento: 2026-06-10

Il cubo — proprietà geometriche

Il cubo è un solido geometrico con sei facce quadrate uguali, dodici spigoli della stessa lunghezza e otto vertici. Poiché tutte e tre le dimensioni coincidono, una sola misura — la lunghezza del lato s — determina univocamente il volume, l'area totale, le diagonali e la lunghezza complessiva degli spigoli.

Le formule

Per un cubo di lato s:

Grandezza	Formula	Significato
Volume	V = s³	Spazio interno del cubo
Area totale	A = 6s²	Somma delle sei facce
Diagonale di faccia	$d_f = s\sqrt{2}$	Diagonale di una faccia quadrata
Diagonale spaziale	$d_s = s\sqrt{3}$	Collega vertici opposti attraverso l'interno
Lunghezza totale degli spigoli	L = 12s	Somma dei 12 spigoli

L'origine dell'area totale 6s²

Un cubo ha 6 facce quadrate uguali, ciascuna con area s². La somma totale è 6 × s². Per s = 10 cm: A = 6 × 100 = 600 cm².

Deduzione della diagonale di faccia

Ogni faccia è un quadrato di lato s. La diagonale si ricava con il teorema di Pitagora:

$d_f = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$

Per s = 10 cm: $d_f = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$ cm.

Deduzione della diagonale spaziale

La diagonale spaziale collega due vertici opposti attraversando l'interno del cubo. Si applica Pitagora in tre dimensioni: si usa la diagonale di faccia come base e lo spigolo come altezza:

$d_s = \sqrt{d_f^2 + s^2} = \sqrt{2s^2 + s^2} = \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

Per s = 10 cm: $d_s = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ cm. La diagonale spaziale è sempre maggiore di quella di faccia ($\sqrt{3} > \sqrt{2}$).

Relazione con il parallelepipedo rettangolo

Un cubo è un parallelepipedo con l = a = h = s. Sostituendo nelle formule generali:

• V = l·a·h → s·s·s = s³
• A = 2(la + lh + ah) → 2(s² + s² + s²) = 6s²
• Diagonale spaziale = $\sqrt{l^2 + a^2 + h^2} \to \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

Crescita cubica

Poiché il volume è proporzionale a s³, piccole variazioni del lato causano grandi variazioni del volume:

Fattore del lato	Fattore del volume	Fattore dell'area
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Una scatola cubica da 20 cm contiene 8 volte più di una da 10 cm, anche se visivamente sembra solo il doppio.

Esempi di calcolo

Esempio 1 — Cubetto di ghiaccio

Un cubetto di ghiaccio standard ha lato s ≈ 2,5 cm (0,025 m).

Volume: V = 0,025³ ≈ 15,6 cm³ ≈ 15,6 mL Area totale: A = 6 × 0,025² = 37,5 cm² Diagonale spaziale: $d_s = 0{,}025 \times \sqrt{3} \approx 4{,}33$ cm

Esempio 2 — Scatola di cartone

Una scatola cubica con lato s = 30 cm:

Volume: V = 30³ = 27.000 cm³ = 27 litri Area totale: A = 6 × 900 = 5.400 cm² di cartone Lunghezza totale degli spigoli: L = 12 × 30 = 360 cm di nastro adesivo

Esempio 3 — Trovare il lato dal volume

Se il volume è V = 1.000 cm³, il lato vale:

s = ∛V = ∛1000 = 10 cm

Per V = 8 m³: s = ∛8 = 2 m.

Domande frequenti (FAQ)

Come si calcola la diagonale spaziale di un cubo?

La diagonale spaziale di un cubo di lato s è d = s√3. Collega due vertici opposti attraversando l'interno del cubo. Per esempio, con s = 10 cm: d = 10√3 ≈ 17,32 cm.

Qual è la differenza tra diagonale di faccia e diagonale spaziale?

La diagonale di faccia giace su una delle facce quadrate e misura s√2. La diagonale spaziale attraversa l'interno del cubo da un vertice a quello opposto e misura s√3. Per s = 10 cm: diagonale di faccia ≈ 14,14 cm, diagonale spaziale ≈ 17,32 cm.

Come trovo il lato di un cubo conoscendo il volume?

Da V = s³ si ricava s = ∛V. Ad esempio, se V = 1.000 cm³, allora s = ∛1000 = 10 cm. Per V = 1 m³, s = 1 m.

Perché l'area totale di un cubo è 6s²?

Un cubo ha 6 facce quadrate uguali, ciascuna con area s². La somma totale è A = 6s². Per s = 5 cm: A = 6 × 25 = 150 cm².