Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Definizione di numero primo

Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che ha come unici divisori positivi 1 e se stesso. Nessun altro intero lo divide esattamente.

• 2 è primo: divisibile solo per 1 e 2
• 7 è primo: divisibile solo per 1 e 7
• 12 è composto: divisibile per 1, 2, 3, 4, 6 e 12

I primi venti numeri primi sono:

$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71$

I numeri primi diventano sempre meno frequenti all'aumentare dei numeri, ma non finiscono mai. Euclide dimostrò attorno al 300 a.C. che esistono infiniti numeri primi.

Il numero 1 non è primo

Intuitivamente potrebbe sembrare che 1 sia primo perché è divisibile solo per 1 e per se stesso. Tuttavia, la definizione moderna richiede esattamente due divisori positivi distinti, e 1 ne ha uno solo (se stesso).

La ragione più profonda è preservare il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: ogni intero maggiore di 1 si decompone in fattori primi in modo unico. Se 1 fosse primo, questa unicità andrebbe persa:

$12 = 2^2 \times 3 = 1 \times 2^2 \times 3 = 1^2 \times 2^2 \times 3 = \ldots$

Per questo motivo, 1 è chiamato unità — né primo né composto.

Divisione di prova

Per interi da 1 a 1000, questo strumento usa la divisione di prova: verifica la divisibilità per ogni numero primo fino a $\sqrt{1000} \approx 31{,}6$. Se $n$ non ha alcun fattore primo minore o uguale alla sua radice quadrata, allora $n$ è primo.

I primi fino a 31 sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Testare questi undici valori è sufficiente per qualsiasi intero fino a 1000.

Esempio — 97 è primo?

Divisore	$97 \div d$	Resto
2	48,5	1
3	32,3…	1
5	19,4	2
7	13,857…	6

Nessun primo fino a $\sqrt{97} \approx 9{,}8$ divide 97 esattamente — 97 è primo.

Esempio — 91 è primo?

$91 \div 7 = 13$ con resto 0. Poiché 7 divide 91, 91 è composto ($91 = 7 \times 13$), con fattore primo minimo 7.

Il crivello di Eratostene

Per trovare tutti i numeri primi fino a un certo limite, il crivello di Eratostene è più efficiente della divisione individuale:

1. Elencare tutti gli interi da 2 a $N$.
2. Iniziare da 2: barrare tutti i suoi multipli (4, 6, 8, …).
3. Passare al prossimo numero non barrato (3) e barrare i suoi multipli.
4. Ripetere fino a $\sqrt{N}$.

Tutti i numeri rimasti non barrati sono primi. La complessità è $O(N \log \log N)$.

Numeri primi e crittografia

Quasi tutta la crittografia a chiave pubblica si basa su un'asimmetria fondamentale: moltiplicare due grandi numeri primi è rapido, ma fattorizzare il loro prodotto è computazionalmente impraticabile.

La crittografia RSA (che protegge HTTPS e le firme digitali) funziona così:

1. Si scelgono due grandi numeri primi $p$ e $q$ (tipicamente 1024–4096 bit ciascuno).
2. Si calcola $n = p \times q$ e lo si pubblica come parte della chiave pubblica.
3. Un attaccante dovrebbe fattorizzare $n$ per violare la chiave — ci vorrebbero più anni dell'età dell'universo con i computer attuali.

Questa funzione a senso unico è il fondamento della comunicazione sicura su internet.

Riferimento rapido

Numero	Primo?	Fattore primo minimo
1	No (unità)	—
2	Sì	2 (se stesso)
4	No	2
17	Sì	17 (se stesso)
49	No	7
97	Sì	97 (se stesso)
100	No	2
997	Sì	997 (se stesso)

Domande frequenti (FAQ)

Che cos'è un numero primo?

Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che ha come unici divisori positivi 1 e se stesso. Ad esempio, 2, 3, 5, 7, 11 e 13 sono primi. Il 12 non è primo perché è divisibile per 2, 3, 4 e 6. Ogni intero maggiore di 1 è primo oppure esprimibile in modo unico come prodotto di numeri primi — il Teorema fondamentale dell'aritmetica.

Perché 1 non è un numero primo?

La definizione di numero primo richiede esattamente due divisori positivi distinti: 1 e il numero stesso. Il numero 1 ha un solo divisore positivo (se stesso). Se il 1 fosse primo, la fattorizzazione in primi non sarebbe unica: 12 = 2² × 3 = 1 × 2² × 3 = 1² × 2² × 3 … con infinite decomposizioni per lo stesso numero.

Quali sono i primi dieci numeri primi?

I primi dieci numeri primi sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Il 2 è l'unico primo pari; ogni altro numero pari è divisibile per 2. Euclide ha dimostrato intorno al 300 a.C. che esistono infiniti numeri primi.

Perché i numeri primi sono importanti nella crittografia?

La maggior parte della crittografia a chiave pubblica — incluso RSA, che protegge HTTPS e le firme digitali — si basa sul fatto che moltiplicare due grandi numeri primi è rapido, ma fattorizzare il loro prodotto è computazionalmente impraticabile. Le chiavi RSA moderne usano primi con centinaia di cifre.