Ultimo aggiornamento: 2026-06-23

Cosa calcola questo strumento

Questo strumento determina il margine di errore nella stima di una media della popolazione a partire da un campione, insieme all'intervallo di confidenza centrato sulla media campionaria. Si inseriscono il livello di confidenza, la deviazione standard, la numerosità del campione e la media osservata.

Che cos'è il margine di errore

Quando un sondaggio, un'indagine o un esperimento stima una media a partire da un campione, la stima non è mai esatta: un campione casuale diverso fornirebbe una media leggermente diversa. Il margine di errore quantifica questa incertezza di campionamento. È il "più o meno" che accompagna risultati come "la soddisfazione media è stata 7,2 su 10, ±0,3". Formalmente è la semiampiezza di un intervallo di confidenza: la distanza tra la media campionaria e ciascun estremo dell'intervallo.

La formula

Per una media della popolazione con deviazione standard nota (o ben stimata), il margine di errore è:

• E — il margine di errore (la semiampiezza dell'intervallo)
• z — il valore critico della distribuzione normale standard, fissato dal livello di confidenza (1,645 per 90%, 1,96 per 95%, 2,576 per 99%)
• σ — la deviazione standard dei dati
• n — la numerosità del campione

Il termine $\sigma/\sqrt{n}$ è l'errore standard della media: la deviazione standard della distribuzione campionaria della media. Moltiplicandolo per il valore critico lo si scala fino al livello di confidenza desiderato.

L'intervallo di confidenza è quindi la media campionaria più o meno questo margine:

Una media campionaria $\bar{x}$ con margine di errore $E$ genera l'intervallo da $\bar{x} - E$ a $\bar{x} + E$. Al 95% di confidenza ciò significa che, ripetendo lo studio molte volte, circa il 95% degli intervalli costruiti in questo modo conterrebbe la vera media della popolazione.

Perché il margine diminuisce con √n

Poiché la numerosità del campione entra nella formula sotto una radice quadrata, il margine di errore cala in proporzione a $1/\sqrt{n}$ anziché in proporzione inversa a $n$. Ne derivano rendimenti decrescenti:

Per dimezzare il margine di errore occorre quadruplicare il campione. Questa legge della radice quadrata spiega perché grandi indagini nazionali riportino comunque margini di alcuni punti percentuali e perché ogni unità aggiuntiva di precisione diventi progressivamente più costosa da ottenere.

Esempio svolto

Si supponga che un campione di numerosità 100 abbia deviazione standard 15 e media 50, e che si desideri un intervallo di confidenza al 95%. Il valore critico è 1,96:

Il margine di errore è ±2,94 e l'intervallo di confidenza al 95% va da 47,06 a 52,94. Si può leggere così: sulla base di questo campione, la media della popolazione si colloca plausibilmente in quell'intervallo.

Quando σ è ignota o n è piccolo

La formula precedente presuppone che la deviazione standard della popolazione σ sia nota, oppure che il campione sia abbastanza ampio da rendere la deviazione standard campionaria s un sostituto affidabile. Una regola pratica diffusa è $n \geq 30$.

Quando σ è ignota e il campione è piccolo, si sostituisce il valore critico della normale con quello della distribuzione t, che ha code più pesanti per tenere conto dell'incertezza aggiuntiva nella stima di σ a partire dai dati:

Il valore t dipende dai gradi di libertà, uno in meno della numerosità del campione, ed è sempre leggermente maggiore del corrispondente valore z, perciò allarga l'intervallo. Al crescere di n il valore t torna a convergere verso z.

Margine di errore per una proporzione

Questo strumento riguarda il margine di errore per una media. Per una proporzione — per esempio la quota di intervistati che hanno risposto "sì" — l'errore standard è diverso e il margine di errore diventa:

dove $p$ è la proporzione campionaria. Questa espressione è massima quando $p$ vale un mezzo, motivo per cui gli istituti demoscopici riportano spesso il margine prudenziale nel "caso peggiore" calcolato per quel valore.

Strumenti correlati

Il Calcolatore di Intervallo di Confidenza costruisce l'intervallo completo attorno alla stima e consente di lavorare sia con le medie sia con le proporzioni. Per chi pianifica uno studio e vuole scegliere n in anticipo per raggiungere un margine prefissato, il Calcolatore della dimensione del campione per una media inverte la formula e risolve per la numerosità campionaria necessaria.