Ultimo aggiornamento: 2026-06-05

Definizione

La distanza da un punto P a una retta è la lunghezza del segmento più corto che congiunge P a un qualsiasi punto della retta. Quel segmento minimo è sempre perpendicolare alla retta, e per questo si parla di distanza perpendicolare. Data la retta in forma normale Ax + By + C = 0, la formula è:

$d = \frac{|Ap_x + Bp_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Il denominatore è la lunghezza del vettore normale alla retta e ha il ruolo di ricondurre l'espressione algebrica a una vera lunghezza geometrica.

Dimostrazione

Il vettore normale alla retta Ax + By + C = 0 è n = (A, B). Sia Q = (x₀, y₀) un punto sulla retta, quindi Ax₀ + By₀ + C = 0.

La proiezione con segno del vettore QP = (p_x − x₀, p_y − y₀) sul versore normale n̂ = (A, B)/|n| vale:

$\text{distanza con segno} = \frac{A(p_x - x_0) + B(p_y - y_0)}{|\mathbf{n}|} = \frac{Ap_x + Bp_y - (Ax_0 + By_0)}{|\mathbf{n}|}$

Poiché Q appartiene alla retta, Ax₀ + By₀ = −C, quindi:

$\text{distanza con segno} = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Il valore assoluto fornisce la distanza geometrica d, sempre non negativa. Il segno indica da quale lato della retta si trova il punto.

Piede della perpendicolare

Il piede F è il punto della retta più vicino a P. Si ottiene partendo da P e spostandosi lungo la direzione normale di una quantità t = (Ap_x + Bp_y + C) / (A² + B²):

$F_x = p_x - \frac{A(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}, \qquad F_y = p_y - \frac{B(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}$

Si verifica facilmente che AF_x + BF_y + C = 0 (cioè F appartiene alla retta) e che la lunghezza del segmento PF è uguale a d.

Esempio numerico

Problema: calcolare la distanza dal punto P = (1, −2) alla retta 3x − 4y + 5 = 0 e trovare il piede della perpendicolare.

Passo 1 — numeratore e denominatore: $Ap_x + Bp_y + C = 3(1) + (-4)(-2) + 5 = 3 + 8 + 5 = 16$ $\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Passo 2 — distanza: $d = \frac{|16|}{5} = 3{,}2$

Passo 3 — coordinate del piede: $t = \frac{16}{25} = 0{,}64$ $F_x = 1 - 3 \cdot 0{,}64 = -0{,}92, \qquad F_y = -2 - (-4)(0{,}64) = 0{,}56$

Verifica: 3(−0,92) + (−4)(0,56) + 5 = −2,76 − 2,24 + 5 = 0 ✓

Il punto P dista 3,2 unità dalla retta, e il punto più vicino sulla retta è F = (−0,92; 0,56).

Conversione dalla forma esplicita

Se la retta è espressa nella forma esplicita y = mx + q, si riscrive come:

$mx - y + q = 0 \quad \Rightarrow \quad A = m,\; B = -1,\; C = q$

Ad esempio, y = 2x − 3 diventa 2x − y − 3 = 0, quindi A = 2, B = −1, C = −3.

La formula della distanza non cambia se si moltiplicano tutti i coefficienti A, B, C per una stessa costante non nulla: numeratore e denominatore vengono scalati dello stesso fattore e il risultato rimane invariato.

Distanza con segno

Il calcolatore restituisce la distanza non orientata d ≥ 0. La distanza con segno (Ap_x + Bp_y + C) / √(A² + B²) è positiva quando P si trova dal lato concorde con il versore normale, negativa dal lato opposto. La distanza con segno trova applicazione, ad esempio, nella classificazione di punti rispetto a un semipiano o nella geometria del classificatore a vettori di supporto.

Casi particolari

• Punto sulla retta: Ap_x + Bp_y + C = 0, quindi d = 0 e F coincide con P.
• Retta orizzontale (A = 0): la formula si riduce a d = |By + C| / |B|.
• Retta verticale (B = 0): la formula si riduce a d = |Ax + C| / |A|.
• Equazione degenere (A = B = 0): se C = 0 ogni punto soddisfa l'equazione (non si tratta di una retta); se C ≠ 0 nessun punto la soddisfa. In entrambi i casi la formula non è definita.

Collegamento con il teorema di Pitagora

La costruzione si visualizza come un triangolo rettangolo: il punto P, il piede F e un terzo punto Q sulla retta formano un triangolo con l'angolo retto in F. L'ipotenusa PQ soddisfa PQ² = PF² + FQ², confermando che PF — la distanza perpendicolare — è strettamente inferiore a qualunque altro segmento che congiunga P alla retta.