Ultimo aggiornamento: 2026-05-13

Definizione

Il teorema di Pitagora afferma che in qualsiasi triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti:

$a^2 + b^2 = c^2$

È uno dei risultati più antichi della matematica. Tavolette d'argilla babilonesi risalenti a circa il 1800 a.C. riportano già terne pitagoriche — insiemi di interi che soddisfano l'equazione — secoli prima della nascita di Pitagora. Il contributo di Pitagora e dei suoi allievi fu una dimostrazione generale: la relazione vale per ogni triangolo rettangolo, non solo per specifici esempi numerici.

Come usare questa calcolatrice

Inserisci due lati qualsiasi di un triangolo rettangolo e la calcolatrice troverà il terzo. Tutti e tre i campi sono modificabili: puoi fissare l'ipotenusa e un cateto per trovare l'altro, oppure fornire entrambi i cateti per ottenere l'ipotenusa.

• a e b noti → trovare c (ipotenusa): $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• b e c noti → trovare a: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• a e c noti → trovare b: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Tutte le unità di lunghezza sono supportate. Puoi combinare liberamente il sistema metrico e quello imperiale.

Perché la formula funziona

La dimostrazione più intuitiva consiste nel tracciare tre quadrati sui lati del triangolo rettangolo. L'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti — è possibile verificarlo riorganizzando i pezzi per coprire esattamente il quadrato maggiore. Questa "dimostrazione per dissecazione" non richiede algebra, solo il conteggio delle aree, motivo per cui è stata riscoperta indipendentemente in molte culture nel corso della storia.

La formulazione algebrica deriva dalla formula della distanza nella geometria analitica: posizionando l'angolo retto nell'origine e i cateti lungo gli assi delle coordinate, l'ipotenusa — il segmento da $(a, 0)$ a $(0, b)$ — ha lunghezza $\sqrt{a^2 + b^2}$ per definizione di distanza euclidea.

Terne pitagoriche

Le terne pitagoriche sono soluzioni intere di $a^2 + b^2 = c^2$. Alcune tra le più note:

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

Qualsiasi multiplo intero positivo di una terna è anch'esso una terna. Così (6, 8, 10), (9, 12, 15) e (15, 20, 25) derivano tutte dalla famiglia (3, 4, 5).

La formula generale per generare tutte le terne primitive (prive di fattori comuni) usa due interi $m > n > 0$:

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

Per $m = 2, n = 1$: $a = 3, b = 4, c = 5$ — la terna classica per eccellenza.

Applicazioni nella vita reale

Edilizia e falegnameria. La regola del 3-4-5 è lo strumento più affidabile per verificare gli angoli retti senza goniometro. Si misurano 3 unità lungo una parete e 4 unità lungo la parete adiacente; se la diagonale misura esattamente 5 unità, l'angolo è retto.

Navigazione. La distanza in linea d'aria tra due punti su una mappa piana è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono le differenze nord-sud ed est-ovest. I ricevitori GPS e i software di cartografia la calcolano in continuazione.

Fisica e ingegneria. I moduli dei vettori bidimensionali si calcolano tramite il teorema di Pitagora. La velocità di un oggetto con componente orizzontale $v_x$ e verticale $v_y$ è $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Computer grafica. La distanza tra pixel, il rilevamento delle collisioni e i calcoli di rendering dipendono tutti da questo teorema. L'estensione tridimensionale — $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ — ne è una generalizzazione diretta.

Solo per i triangoli rettangoli

Il teorema di Pitagora vale soltanto quando uno degli angoli è esattamente 90°. Per tutti gli altri triangoli, lo strumento corretto è la legge del coseno:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

dove $C$ è l'angolo opposto al lato $c$. Quando $C = 90°$, $\cos(90°) = 0$ e la legge del coseno si riduce esattamente al teorema di Pitagora — a conferma che quest'ultimo è un caso speciale di un risultato più generale.

Domande frequenti (FAQ)

Cosa sono le terne pitagoriche?

Le terne pitagoriche sono insiemi di tre interi positivi che soddisfano a² + b² = c². La più famosa è (3, 4, 5): 9 + 16 = 25. Altre terne comuni sono (5, 12, 13), (8, 15, 17) e (7, 24, 25). Qualsiasi multiplo intero di una terna è anch'esso una terna — ad esempio (6, 8, 10).

Come viene usato il teorema di Pitagora nella vita reale?

Il teorema è impiegato nell'edilizia (per verificare che gli angoli siano retti), nella navigazione (calcolo di distanze in linea d'aria), nella fisica (modulo di vettori) e nella grafica al computer (calcoli di distanze in 2D e 3D). I falegnami usano la regola 3-4-5 per tracciare angoli retti.

Il teorema di Pitagora vale per tutti i triangoli?

No — si applica soltanto ai triangoli rettangoli (triangoli con un angolo di 90°). Per gli altri triangoli si usa la legge del coseno: c² = a² + b² − 2ab cos(C), dove C è l'angolo opposto al lato c.