Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

La progressione aritmetica

Una progressione aritmetica è una successione di numeri in cui ogni termine si ottiene dal precedente aggiungendo una quantità costante, detta ragione (d). Dato il primo termine a₁, la successione è:

$$a_1,\quad a_1 + d,\quad a_1 + 2d,\quad a_1 + 3d,\quad \ldots$$

Esempio classico: 3, 7, 11, 15, … (a₁ = 3, d = 4). Il calcolatore restituisce l'n-esimo termine (aₙ), la somma parziale (Sₙ) e la media dei primi n termini.

Formula dell'n-esimo termine

L'n-esimo termine di una progressione aritmetica è:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

Perché? Da a₁ ad aₙ si compiono esattamente n−1 passi, aggiungendo d ogni volta.

Esempio. La progressione 5, 9, 13, 17, … ha a₁ = 5 e d = 4. Il suo 15° termine vale:

$$a_{15} = 5 + (15 - 1) \times 4 = 5 + 56 = 61$$

Formula della somma e il trucco di Gauss

La somma dei primi n termini è:

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

La leggenda narra che il giovane Gauss calcolò mentalmente la somma da 1 a 100 accorgendosi che le coppie simmetriche danno sempre lo stesso risultato:

$$1 + 100 = 101,\quad 2 + 99 = 101,\quad 3 + 98 = 101,\quad \ldots$$

Si formano 50 coppie, ognuna con somma 101, quindi il totale è 50 × 101 = 5 050. In generale, ci sono n/2 coppie con somma a₁ + aₙ. Se aₙ non è ancora noto, si può usare direttamente:

$$S_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n-1)d)}{2}$$

Media

La media dei primi n termini equivale alla semisomma del primo e dell'ultimo termine:

$$\bar{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

Questo riflette la simmetria della progressione: i termini si distribuiscono uniformemente attorno a questo valore centrale.

Relazione con le funzioni lineari

Le progressioni aritmetiche sono la versione discreta delle funzioni lineari. Rappresentando n sull'asse x e aₙ sull'asse y, i punti si allineano su una retta:

$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$

La ragione d corrisponde al coefficiente angolare e (a₁ − d) all'intercetta sull'asse y. Questo collegamento è al centro dei programmi di matematica della scuola superiore, dove le progressioni aritmetiche introducono le funzioni lineari.

Casi particolari

Condizione	Effetto
d = 0	Progressione costante; Sₙ = n·a₁
d < 0	Progressione decrescente
d frazionario	Valido; termini decimali equidistanti
n = 1	aₙ = a₁; S₁ = a₁; media = a₁

Esempio con valori reali

Un tirocinante riceve 1.200 € il primo mese e un aumento di 80 € al mese (a₁ = 1.200, d = 80). Qual è lo stipendio al 12° mese e il totale percepito nel primo anno?

• a₁ = 1.200 €, d = 80 €, n = 12
• a₁₂ = 1.200 + 11 × 80 = 1.200 + 880 = 2.080 €
• S₁₂ = 12 × (1.200 + 2.080) / 2 = 12 × 1.640 = 19.680 €
• Stipendio mensile medio: 1.640 €

Domande frequenti (FAQ)

Come si calcola l'n-esimo termine di una progressione aritmetica?

Si usa la formula aₙ = a₁ + (n − 1)·d, dove a₁ è il primo termine, d è la ragione e n è la posizione. Ad esempio, nella progressione 2, 5, 8, 11, … (a₁ = 2, d = 3), il decimo termine vale 2 + 9·3 = 29.

Qual è la formula della somma di una progressione aritmetica?

La somma dei primi n termini è Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Questa formula si basa sul trucco di accoppiamento di Gauss: ogni coppia formata dal primo e dall'ultimo termine somma a₁ + aₙ, e ci sono n/2 coppie. In alternativa: Sₙ = n·(2a₁ + (n−1)d)/2.

Qual è la differenza tra progressione aritmetica e geometrica?

In una progressione aritmetica si aggiunge una ragione fissa d a ogni passo (crescita lineare). In una geometrica si moltiplica per una ragione fissa q (crescita esponenziale). Esempio: 2, 5, 8, 11 è aritmetica (d = 3); 2, 6, 18, 54 è geometrica (q = 3).

La ragione può essere negativa o frazionaria?

Sì, d può essere qualsiasi numero reale. Una ragione negativa produce una progressione decrescente (es. 10, 7, 4, 1, −2, …). Le ragioni frazionarie sono ugualmente valide (es. d = 0,5 dà 1; 1,5; 2; 2,5; …). Quando d = 0, tutti i termini sono uguali a a₁ e Sₙ = n·a₁.