Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Calcolatore della distribuzione normale

Questo calcolatore determina il punteggio Z, la probabilità cumulativa P(X < x), la complementare P(X > x), il percentile e la densità di probabilità f(x) per qualsiasi distribuzione normale (gaussiana). Inserisci il valore osservato, la media della popolazione e la deviazione standard. Nessuna tavola statistica necessaria.

Distribuzione normale

La distribuzione normale è una distribuzione di probabilità continua e simmetrica rispetto alla propria media. Descrive numerosi fenomeni naturali: altezze della popolazione, errori di misura, punteggi nei test, rendimenti finanziari — tutti approssimano una curva a campana quando i campioni sono abbastanza grandi.

La forma della curva è completamente determinata da due parametri:

• μ (media) — il centro della distribuzione
• σ (deviazione standard) — la dispersione dei valori; σ più grande produce una curva più piatta e larga

La funzione di densità di probabilità è:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

Il punteggio Z

Il punteggio Z converte qualsiasi valore in unità di deviazioni standard rispetto alla media:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Punteggio Z	Interpretazione
z = 0	Il valore coincide con la media
z = 1	Un σ sopra la media
z = −2	Due σ sotto la media
z > 3	Estremo — si verifica meno dello 0,3% delle volte

Il punteggio Z permette di confrontare valori provenienti da distribuzioni su scale diverse — per esempio, il voto di un esame su 30 e il GPA su 4,0 possono essere messi a confronto direttamente una volta standardizzati.

Probabilità cumulativa: P(X < x)

P(X < x) è l'area sotto la curva a campana a sinistra di x. Rappresenta la probabilità che un valore estratto casualmente da questa distribuzione sia inferiore a x:

$$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

Qui Φ(z) indica la funzione di ripartizione (CDF) della distribuzione normale standard N(0, 1), e erf è la funzione errore — una funzione speciale definita come $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$.

Questo calcolatore utilizza l'approssimazione razionale di Abramowitz & Stegun §7.1.26 (errore massimo < 1,5 × 10⁻⁷), con una precisione di 6 cifre significative.

La regola 68–95–99,7

Per qualsiasi distribuzione normale, tre proporzioni tonde descrivono l'intervallo pratico dei valori:

Intervallo	Probabilità
μ ± 1σ	~68,3%
μ ± 2σ	~95,4%
μ ± 3σ	~99,7%

Questo significa che circa 1 valore su 370 cade a più di 3 deviazioni standard dalla media. Il controllo qualità industriale utilizza la soglia 3σ o 6σ come criterio di "produzione senza difetti" — la sigla "Sei Sigma" fa riferimento proprio a questa legge.

Esempio svolto

In un corso universitario i voti hanno media μ = 24 e deviazione standard σ = 3 (in trentesimi). Uno studente ha ottenuto x = 29.

$$z = \frac{29 - 24}{3} = 1{,}667$$ $$P(X < 29) = \Phi(1{,}667) \approx 0{,}9523$$

Lo studente si colloca circa al 95° percentile — ha fatto meglio di circa il 95,2% dei colleghi. Solo il 4,8% del corso ha ottenuto un voto superiore.

Densità f(x) e probabilità cumulativa: differenze

Grandezza	Simbolo	Significato
Densità di probabilità	f(x)	Altezza della curva in x — non è una probabilità
Probabilità cumulativa	P(X < x)	Area sotto la curva a sinistra di x — è una vera probabilità

f(x) può essere maggiore di 1 per distribuzioni molto strette (σ piccolo), perché è una densità e non una probabilità. In una distribuzione continua, la probabilità di un singolo valore esatto è sempre zero; solo gli intervalli hanno probabilità non nulla.

Domande frequenti (FAQ)

Cos'è il punteggio Z e come si calcola?

Il punteggio Z indica a quante deviazioni standard si trova un valore rispetto alla media: z = (x − μ) / σ. Z = 0 significa che il valore coincide con la media; Z = 1 indica un valore una deviazione standard sopra la media; Z = −2 indica due deviazioni standard sotto. Il punteggio Z permette di confrontare valori provenienti da distribuzioni con medie e dispersioni diverse, riportandoli a una scala comune.

Cosa indica P(X < x) in una distribuzione normale?

P(X < x) è la probabilità cumulativa: la probabilità che un valore estratto casualmente da questa distribuzione sia inferiore a x. Corrisponde all'area sotto la curva a campana a sinistra di x. Per esempio, P(X < 75) = 0,69 significa che circa il 69% dei valori della distribuzione è inferiore a 75. P(X > x) = 1 − P(X < x) rappresenta invece l'area alla destra di x.

Cosa dice la regola 68-95-99,7?

Per qualsiasi distribuzione normale, circa il 68% dei valori ricade entro 1 deviazione standard dalla media (Z compreso tra −1 e +1), circa il 95% entro 2 deviazioni standard, e il 99,7% entro 3 deviazioni standard.

È per questo che i valori con |Z| > 3 sono considerati anomalie statistiche: nella distribuzione normale si verificano meno dello 0,3% delle volte. Nei processi industriali si parla di «controllo 3σ» o «6σ» proprio in riferimento a questa regola.

Come si ricava il percentile dal punteggio Z?

Il percentile equivale a P(X < x) × 100. Un punteggio Z = 0 corrisponde al 50° percentile (esattamente metà della distribuzione è sotto la media). Z = 1,28 corrisponde circa al 90° percentile; Z = 1,645 al 95°; Z = 2,326 al 99°. Questo calcolatore determina il percentile direttamente, senza bisogno di consultare tavole statistiche.