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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Calcolatore di proiezione vettoriale

Dati di input

a — componente x3
a — componente y4
a — componente z0
b — componente x1
b — componente y0
b — componente z0

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/vector-projection

Matematica

Calcolatore di proiezione vettoriale

Proietta il vettore a sul vettore b: proiezione scalare, componenti della proiezione vettoriale e componente perpendicolare (rigetto). Funziona in 2D (lasciare z = 0) e in 3D, con sviluppo passo passo.

Dati di input

Vettore a (proiettato)

Vettore b (direzione)

Risultati

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Dettagli

Sviluppo passo passo

\begin{aligned} \operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_x &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_x \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_y &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_y \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_z &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_z \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_x &= a_x - p_x \\ &= 3 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_y &= a_y - p_y \\ &= 4 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_z &= a_z - p_z \\ &= 0 - (?) \\ &= ? \end{aligned}

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Proiezione vettoriale

Proiettare un vettore a su un vettore b risponde a una domanda semplice: quanta parte di a punta nella direzione di b? La risposta si presenta in due forme — un singolo numero (la proiezione scalare) e un vettore completo (la proiezione vettoriale). Insieme al rigetto, scompongono a in una parte lungo b e una parte perpendicolare ad esso.

Proiezione scalare

La proiezione scalare di a su b è la lunghezza con segno di a misurata lungo la direzione di b:

comp⁡ba=a⋅b∣b∣\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

È positiva quando a è orientato come b, nulla quando sono perpendicolari e negativa quando a punta in senso opposto.

Proiezione vettoriale

La proiezione vettoriale è un vettore diretto lungo b la cui lunghezza è pari al valore assoluto della proiezione scalare:

proj⁡ba=a⋅bb⋅b b=a⋅b∣b∣2 b\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\,\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

Il coefficiente a⋅bb⋅b\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} riscala b in modo che il risultato cada esattamente «sotto» la punta di a.

Il rigetto

Il rigetto è ciò che resta di a dopo aver rimosso la proiezione:

rej⁡ba=a−proj⁡ba\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}

È perpendicolare a b, quindi proiezione e rigetto sono ortogonali e, sommati, ridanno il vettore originale: a=proj⁡ba+rej⁡ba\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} + \operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}.

Esempio svolto

Siano a = (3, 4, 0) e b = (1, 0, 0).

Prima i prodotti scalari:

a⋅b=(3)(1)+(4)(0)+(0)(0)=3,b⋅b=12+02+02=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (4)(0) + (0)(0) = 3, \qquad \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

Il modulo di b è ∣b∣=1=1|\mathbf{b}| = \sqrt{1} = 1, quindi la proiezione scalare è:

comp⁡ba=31=3\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{3}{1} = 3

La proiezione vettoriale usa il coefficiente 31=3\frac{3}{1} = 3:

proj⁡ba=3 (1,0,0)=(3,0,0)\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 3\,(1, 0, 0) = (3, 0, 0)

E il rigetto è il resto perpendicolare:

rej⁡ba=(3,4,0)−(3,0,0)=(0,4,0)\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = (3, 4, 0) - (3, 0, 0) = (0, 4, 0)

Come previsto, (3, 0, 0) e (0, 4, 0) sono perpendicolari e sommati ridanno (3, 4, 0).

2D e 3D

Le stesse formule valgono in qualsiasi dimensione. Per un problema piano in 2D, lascia le componenti z a 0 e leggi i risultati in x e y; l’uscita z resta 0.

L’analogia con il lavoro

In fisica, il lavoro di una forza costante è il prodotto scalare tra forza e spostamento:

W=F⋅d=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta

È il modulo della forza per la proiezione scalare dello spostamento sulla forza. Solo la parte della forza allineata con il moto compie lavoro; la parte perpendicolare (il rigetto) non contribuisce. La stessa idea scompone il peso di un oggetto su una rampa in una componente che lo fa scivolare lungo il pendio e una che lo preme contro la superficie.

Applicazioni

  • Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt: sottrarre la proiezione di ogni vettore sui precedenti per costruire una base ortogonale.
  • Adattamento ai minimi quadrati: la migliore approssimazione di un punto in un sottospazio è la sua proiezione su tale sottospazio.
  • Grafica computerizzata: proiettare una direzione di luce o di vista su una superficie determina l’ombreggiatura e la lunghezza delle ombre.
  • Scomposizione delle forze: separare una forza in componenti lungo e attraverso una direzione, come su un piano inclinato.

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la differenza tra proiezione scalare e proiezione vettoriale?

La proiezione scalare comp_b(a) = (a · b) / |b| è un singolo numero con segno: quanto a si estende lungo la direzione di b. La proiezione vettoriale proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b è un vettore completo: è diretto lungo b e ha lunghezza pari al valore assoluto della proiezione scalare. In breve, la proiezione scalare risponde a «quanto», quella vettoriale a «quanto e in quale direzione».

Come si proietta un vettore su un altro?

Calcola il prodotto scalare a · b e il quadrato del modulo b · b = |b|². La proiezione scalare è (a · b) / |b|. La proiezione vettoriale è il coefficiente (a · b) / (b · b) moltiplicato per b. Per a = (3, 4) e b = (1, 0): a · b = 3, |b| = 1, quindi la proiezione scalare è 3 e quella vettoriale è (3, 0).

Che cos’è il rigetto vettoriale?

Il rigetto è la parte di a che rimane dopo aver rimosso la sua proiezione su b: a − proj_b(a). È perpendicolare a b, quindi proiezione e rigetto scompongono a in due parti ortogonali che sommate ridanno a. Questa scomposizione è alla base del procedimento di Gram-Schmidt e della scomposizione di una forza in componenti lungo e attraverso una superficie.

Dove si usano le proiezioni in fisica?

Il lavoro di una forza costante è W = F · d = |F| |d| cos θ, cioè il modulo della forza per la proiezione scalare dello spostamento lungo la forza. Solo la componente della forza nella direzione del moto compie lavoro; la componente perpendicolare (il rigetto) non ne compie. Le proiezioni scompongono anche il peso di un oggetto su un piano inclinato in componenti lungo e normale alla superficie.

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