Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Il discriminante

Il discriminante di un'equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 è l'espressione D = b² − 4ac. Permette di stabilire la natura delle radici senza applicare per intero la formula risolutiva. Il solo segno di D basta per classificare le radici: due reali distinte, una doppia o due complesse coniugate. È un concetto fondamentale della matematica delle scuole superiori, presente in quasi tutte le verifiche e negli esami di stato.

Calcolo del discriminante

1. Elevare al quadrato il coefficiente centrale: b²
2. Moltiplicare i coefficienti estremi per quattro: 4 · a · c
3. Sottrarre: D = b² − 4ac

Non servono radici quadrate né frazioni: tre operazioni elementari e il risultato è pronto. Il segno di D determina direttamente il tipo di radici.

Segno del discriminante e natura delle radici

Quando D = 0, il vertice della parabola cade esattamente sull'asse x e l'unica radice reale è x = −b / (2a).

Esempi svolti

Esempio 1 — D > 0 (due radici reali distinte)

Equazione: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)

Calcolo: b² = 25, 4ac = 24, D = 25 − 24 = 1

Poiché D = 1 > 0, l'equazione ha due radici reali distinte. Applicando la formula risolutiva si ottiene x₁ = 2 e x₂ = 3, punti in cui la parabola y = x² − 5x + 6 interseca l'asse x.

Esempio 2 — D = 0 (radice doppia)

Equazione: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1, b = −6, c = 9)

Calcolo: b² = 36, 4ac = 36, D = 36 − 36 = 0

La radice doppia è x = −(−6) / (2 · 1) = 3. L'equazione si fattorizza come (x − 3)² = 0; la parabola è tangente all'asse x nel suo vertice, x = 3.

Esempio 3 — D < 0 (radici complesse)

Equazione: x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1)

Calcolo: b² = 1, 4ac = 4, D = 1 − 4 = −3

Poiché D = −3 < 0, non esistono radici reali. Le due radici sono i numeri complessi coniugati $x = (-1 \pm \sqrt{3}\,i) / 2 \approx -0{,}5 \pm 0{,}866i$. Il valore $\sqrt{|D|} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ mostrato dal calcolatore corrisponde al modulo della parte immaginaria.

Legame con la formula risolutiva

La formula risolutiva (nota anche come formula quadratica) è:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Il radicando sotto il segno di radice è esattamente il discriminante D. Quando D > 0, la radice √D è reale e positiva, e il ± produce due radici distinte. Quando D = 0, la radice si annulla e rimane una sola radice. Quando D < 0, la radice √D è immaginaria e la formula fornisce due numeri complessi coniugati. Calcolare D prima permette di sapere in quale dei tre casi ci si trova, senza portare a termine l'intero calcolo.

Caso particolare: a = 0

Se a = 0, l'equazione ax² + bx + c = 0 si riduce all'equazione di primo grado bx + c = 0. La formula D = b² − 4ac dà comunque un risultato (b²), ma quel valore non ha il significato del discriminante di un'equazione di secondo grado. Questo calcolatore richiede a ≠ 0 e mostra un messaggio di errore quando a = 0. La soluzione dell'equazione lineare è x = −c / b (per b ≠ 0).