Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Il triangolo isoscele rettangolo (45-45-90)

Un triangolo isoscele rettangolo ha due angoli di 45° e un angolo retto di 90°. I due cateti — i lati adiacenti all'angolo retto — sono uguali, da cui il termine "isoscele"; la presenza dell'angolo retto lo rende contemporaneamente rettangolo. Il rapporto tra i lati è $1 : 1 : \sqrt{2}$, una delle due proporzioni notevoli più importanti della geometria insieme a $1 : \sqrt{3} : 2$ del triangolo 30-60-90.

Relazione con il quadrato

Tracciando la diagonale di un quadrato di lato $l$ si ottengono due triangoli isosceli rettangoli congruenti. Ogni cateto corrisponde al lato del quadrato e l'ipotenusa corrisponde alla sua diagonale. Questo spiega perché $\sqrt{2}$ compare così spesso in geometria: è il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato.

Formule

Sia $l$ la lunghezza del cateto.

Grandezza	Formula
Ipotenusa $c$	$l\sqrt{2}$
Area $S$	$l^2 / 2$
Perimetro $P$	$l(2 + \sqrt{2})$

Dato noto	Cateto $l$	Ipotenusa $c$	Area $S$
Dal cateto $l$	—	$l\sqrt{2}$	$l^2/2$
Dall'ip. $c$	$c/\sqrt{2}$	—	$c^2/4$
Dall'area $S$	$\sqrt{2S}$	$2\sqrt{S}$	—

Esempio svolto

Per $l = 5$:

$c = 5\sqrt{2} \approx 7{,}071, \quad S = \frac{25}{2} = 12{,}5, \quad P = 5(2+\sqrt{2}) \approx 17{,}07$

Dimostrazione delle formule

Ipotenusa: Si applica il teorema di Pitagora ai cateti uguali $l$:

$c = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

Area: La base e l'altezza sono entrambe $l$ (i cateti sono perpendicolari):

$S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{l^2}{2}$

Dall'ipotenusa: $l = c/\sqrt{2}$, quindi $S = l^2/2 = (c/\sqrt{2})^2/2 = c^2/4$.

Dall'area: $S = l^2/2$ porta a $l = \sqrt{2S}$, poi $c = l\sqrt{2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$.

Proprietà aggiuntive

• È l'unico triangolo che è contemporaneamente isoscele e rettangolo.
• Raggio della circonferenza circoscritta: $R = c/2$ (l'angolo retto è inscritto nel semicerchio di diametro $c$).
• Raggio della circonferenza inscritta: $r = l(2-\sqrt{2})/2$.

Domande frequenti (FAQ)

Quali sono i rapporti tra i lati di un triangolo 45-45-90?

Un triangolo 45-45-90 ha due cateti uguali e un'ipotenusa. Il rapporto tra i lati è cateto : cateto : ipotenusa = 1 : 1 : √2. Se ogni cateto misura l, l'ipotenusa vale l√2 ≈ 1,414l. Ad esempio, con cateto = 5, l'ipotenusa è 5√2 ≈ 7,071. Questo triangolo compare naturalmente tagliando un quadrato lungo la diagonale: ogni metà è un triangolo isoscele rettangolo congruente.

Come si calcola l'ipotenusa di un triangolo isoscele rettangolo dai cateti?

Si applica il teorema di Pitagora: c = √(l² + l²) = √(2l²) = l√2. Per l = 5: c = 5√2 ≈ 7,071. L'area è S = l²/2 (base e altezza coincidono con l) e il perimetro è P = 2l + l√2 = l(2 + √2) ≈ 3,414l.

Come si trovano i cateti di un triangolo isoscele rettangolo conoscendo l'ipotenusa?

Isolando l in l√2 = c si ottiene l = c ÷ √2 = c√2 ÷ 2. Per c = 10: l = 10 ÷ √2 ≈ 7,071. L'area è S = c²/4 (poiché S = l²/2 = (c/√2)²/2 = c²/4) e il perimetro è P = c(1 + √2) ≈ 2,414c.