Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

A cosa serve questa calcolatrice

Il punteggio Z (o punteggio standard) è una misura statistica che esprime di quante deviazioni standard un valore si discosta dalla media della propria distribuzione. Permette di confrontare osservazioni provenienti da distribuzioni con scale o unità diverse su una scala comune adimensionale.

Formula

Per un valore x appartenente a una distribuzione con media μ e deviazione standard σ:

• x — il valore osservato
• μ — la media della popolazione (o del campione)
• σ — la deviazione standard

Un punteggio Z pari a 0 indica che x coincide con la media. Z = +1 indica un valore una deviazione standard sopra la media; Z = −2 indica due deviazioni sotto. Il segno indica la direzione, il valore assoluto indica la distanza.

Confronto tra distribuzioni

Il principale vantaggio della standardizzazione è rendere comparabili misure su scale diverse:

• Uno studente ottiene 8 in matematica (media 6,5, σ = 1,5) e 7,2 in italiano (media 6, σ = 1,2). In matematica z ≈ 1,0; in italiano z = 1,0: la prestazione relativa è identica.
• Un'altezza di 175 cm per una donna (media ≈ 163 cm, σ ≈ 6 cm) dà z = 2,0 — molto sopra la media. Lo stesso valore per un uomo (media ≈ 177 cm, σ ≈ 7 cm) darebbe z ≈ −0,3 — sostanzialmente nella norma.

Senza standardizzazione, questi confronti non hanno senso.

La regola 68-95-99,7

Per qualsiasi distribuzione normale, la quota di valori compresi entro k deviazioni standard dalla media segue questa distribuzione:

Valori con |z| ≥ 2 rappresentano meno del 5% di una popolazione normale; quelli con |z| ≥ 3 meno dello 0,3%. Il controllo qualità industriale basa la "regola dei 3 sigma" proprio su questa proprietà.

Dal punteggio Z al percentile

Se i dati seguono una distribuzione normale, il percentile corrisponde alla funzione di ripartizione della normale standard Φ(z) moltiplicata per 100:

Φ(z) è la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard N(0, 1): rappresenta l'area sotto la curva a campana a sinistra del punto z. Questo calcolatore la valuta tramite la funzione errore erf, definita come $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$. Valori di riferimento:

Deviazione standard di popolazione vs. campionaria

La formula del punteggio Z è la stessa in entrambi i casi, ma il tipo di deviazione standard influenza il risultato:

• Deviazione standard di popolazione (σ) — usata quando si dispone dei dati dell'intera popolazione (ad esempio tutti i voti di una classe). Denominatore: n.
• Deviazione standard campionaria (s) — usata quando i dati sono un sottoinsieme estratto da una popolazione più ampia. Denominatore: n − 1 (correzione di Bessel), che produce un valore leggermente maggiore di σ.

Nei libri di testo il punteggio Z viene calcolato con la deviazione di popolazione; nella statistica inferenziale si usa spesso quella campionaria.

Esempi

Esempio 1 — Voto in esame

Uno studente ottiene 28/30 in un esame la cui media è 22 e la deviazione standard 4.

Φ(1,5) ≈ 0,933 → lo studente è al 93° percentile, cioè supera circa il 93% dei colleghi.

Esempio 2 — Altezza

Una donna alta 175 cm. Riferimento per le donne italiane: μ ≈ 163 cm, σ ≈ 6 cm.

Φ(2,0) ≈ 0,977 → risulta più alta di circa il 97,7% delle donne.

Esempio 3 — Controllo qualità

Un componente nominale da 200 g con σ = 5 g. Un pezzo misurato pesa 187 g.

Φ(−2,6) ≈ 0,005 — solo circa lo 0,5% dei componenti pesa così poco. Un valore a −2,6 sigma supera la soglia tipica di allarme nel controllo statistico di processo.

Limiti della conversione in percentile

La conversione in percentile assume la normalità della distribuzione. La precisione si riduce nei seguenti casi:

• Distribuzioni asimmetriche (redditi, tempi di risposta) — il percentile reale può differire sensibilmente da quello stimato.
• Distribuzioni a code pesanti (rendimenti finanziari) — i valori estremi sono molto più frequenti di quanto preveda la distribuzione normale.
• Dati discreti (conteggi, scale limitate) — la stima va usata come approssimazione grossolana.

In questi contesti il punteggio Z resta utile come indicatore relativo; il percentile va interpretato con cautela.

Relazione con il calcolatore di distribuzione normale

Il Calcolatore della distribuzione normale aggiunge la densità di probabilità f(x) e le probabilità P(X < x) e P(X > x). Il calcolatore di punteggio Z è indicato quando si vuole standardizzare rapidamente un singolo valore e leggerne il percentile.