Risolutore di equazioni di secondo grado

Ultimo aggiornamento: 2026-05-13

Che cos'è un'equazione di secondo grado?

Un'equazione di secondo grado è un'equazione il cui termine di grado più alto è $x^2$. La sua forma standard è:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

I coefficienti $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali. La condizione $a \neq 0$ è indispensabile: se $a$ fosse nullo, l'equazione sarebbe di primo grado.

La formula risolutiva

Le radici si ottengono applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Il segno ± produce due radici:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Il discriminante

L'espressione $\Delta = b^2 - 4ac$ sotto il radicale è chiamata discriminante (indicato anche con $D$ in altre tradizioni; il calcolatore in alto usa la notazione $D$). Il suo segno determina la natura delle radici:

Discriminante	Natura delle radici
$\Delta > 0$	due radici reali distinte
$\Delta = 0$	una radice reale doppia
$\Delta < 0$	due radici complesse coniugate

Radice doppia ($\Delta = 0$)

Quando il discriminante è nullo, le due radici coincidono:

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

Questo valore corrisponde all'ascissa del vertice della parabola associata.

Radici complesse ($\Delta < 0$)

Se il discriminante è negativo, $\sqrt{\Delta}$ non ha valore reale. Le radici diventano numeri complessi:

$x = \alpha \pm \beta i$

dove

$\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2|a|}$

$\alpha$ è la parte reale e $\beta$ è la parte immaginaria. Nelle equazioni con coefficienti reali, le radici complesse compaiono sempre in coppie coniugate.

Esempio: $x^2 - 3x + 2 = 0$

Con $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$:

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$x_1 = 2, \qquad x_2 = 1$

Il legame con la parabola

Le radici di $ax^2 + bx + c = 0$ sono le ascisse dei punti in cui la parabola $y = ax^2 + bx + c$ interseca l'asse $x$.

• $\Delta > 0$: la parabola taglia l'asse in due punti distinti.
• $\Delta = 0$: la parabola è tangente all'asse (il vertice giace sull'asse).
• $\Delta < 0$: la parabola non ha punti in comune reali con l'asse $x$.

Utilizzo del calcolatore

Inserisci i coefficienti $a$, $b$ e $c$: il calcolatore determina automaticamente il discriminante e le radici.

• Discriminante $\geq 0$: le radici $x_1$ e $x_2$ appaiono nella sezione «Radici reali».
• Discriminante $< 0$: la parte reale $\alpha$ e la parte immaginaria $\beta$ appaiono in «Radici complesse».

Domande frequenti (FAQ)

Cos'è la formula quadratica?

Per ax² + bx + c = 0, le radici sono x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Il ± fornisce due radici, di solito chiamate x₁ (con +) e x₂ (con −). Queste radici sono i punti di intersezione della parabola y = ax² + bx + c con l'asse x.

Cosa indica il discriminante?

Il discriminante D = b² − 4ac determina la natura delle radici. Se D > 0, esistono due radici reali distinte. Se D = 0, esiste un'unica radice reale doppia (x₁ = x₂ = −b ÷ 2a). Se D < 0, le radici sono complesse coniugate e non esistono radici reali.

Quali sono le radici complesse quando D < 0?

Quando il discriminante è negativo, le radici sono complesse coniugate: x = α ± βi, dove α = −b ÷ (2a) è la parte reale e β = √(−D) ÷ (2|a|) è la parte immaginaria. Nelle equazioni con coefficienti reali, le radici complesse compaiono sempre in coppie coniugate.