ホーム 数学 n乗根の計算 作成日: 2026年6月13日 18:01 n乗根の計算 入力 被開数27根の次数3 数学 n乗根の計算 n乗根（累乗根）の主値を計算します。偶数次の根では負の実数根も表示。分数指数との関係や複素数への拡張もわかりやすく解説。 入力 被開数 根をとる対象の数。n が奇数であれば負の数も入力できます。n が偶数の場合は 0 以上の数を指定してください。 根の次数 何乗根かを指定する整数（2 以上）。2 なら平方根、3 なら立方根、4 なら4乗根です。 結果 値を入力すると計算結果が表示されます。 n乗根の主値 27 の n 乗根の主値。n が奇数のときは常に実数が存在し、n が偶数のときは 27 ≥ 0 の場合に限り定義されます。 x = 27n = 3 n乗根の主値 \begin{aligned} \sqrt[n]{x} &= \operatorname{sign}(x)\cdot|x|^{1/n} \\ &= \operatorname{sign}(27)\cdot|27|^{1/3} \\ &= ? \end{aligned} 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-06-05 数 x の n 乗根（累乗根）とは、n 乗すると x になる数 r のことです。すなわち r^n = x を満たす r が n 乗根です。n = 2 のときは平方根、n = 3 のときは立方根と呼ばれます。 定義と主値の規約 x ≥ 0 で n が偶数のとき、r^n = x を満たす実数解は正と負の 2 つ存在します。n が奇数のときは符号にかかわらず実数解はちょうど 1 つです。複数の候補がある場合に関数として一意な値を定めるため、**主値（主値の n 乗根）**を次のように規約します。 x ≥ 0 のとき、ⁿ√x ≥ 0（非負の実数解） x < 0 かつ n が奇数のとき、ⁿ√x < 0（負の実数解） 根号 ⁿ√ は常にこの主値を指します。主値の規約により、ⁿ√x は「1 入力・1 出力」の関数として扱えます。 計算式 n 乗根の主値は次の式で求められます。 xn=sign(x)⋅∣x∣1/n\sqrt[n]{x} = \operatorname{sign}(x) \cdot |x|^{1/n}nx=sign(x)⋅∣x∣1/n ここで sign(x) は x > 0 のとき +1、x = 0 のとき 0、x < 0 のとき −1 です。x ≥ 0 のときは x^(1/n) と一致します。x < 0 かつ n が奇数のときは正しく負の値を返します（例：∛(−8) = −2）。 分数指数との等価性 n 乗根と指数 1/n は同じ演算です。 xn=x1/n\sqrt[n]{x} = x^{1/n}nx=x1/n この等式は指数法則 (x^a)^b = x^(ab) から導かれます。(x^(1/n))^n = x^(n/n) = x^1 = x となり、x^(1/n) が n 乗の逆演算であることが確認できます。より一般に、分数指数 m/n を使うと次の等式が成り立ちます。 xm/n=xmnx^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}xm/n=nxm これにより、べき乗と根を分数指数一つで表現できます。 偶数次の根と負の被開数 n が偶数のとき、任意の実数 r を n 乗した結果は常に 0 以上になります（負の数を偶数回掛け合わせると正になるためです）。したがって r^n = x < 0 を満たす実数 r は存在せず、実数の範囲で偶数次の根を負の数にとることはできません。 たとえば √(−9) の実数解は存在しません。−3 は (−3)² = 9 を満たしますが、−9 の平方根ではありません。偶数次・負の被開数の根は虚数単位 i を含む複素数（√(−9) = 3i）になります。 計算例 問題： 81 の 4 乗根の主値を求め、実数解をすべて列挙してください。 ① 計算式を適用します。⁴√81 = 81^(1/4)。 ② 3⁴ = 81 であるから、81^(1/4) = 3 です。 ③ 主値は 3 です。 ④ n = 4 は偶数、x = 81 > 0 であるため、もう一つの実数解 −3 が存在します。 ⑤ 確認：(−3)⁴ = 81。成立します。 81 の実数 4 乗根は 3 と −3 の 2 つで、主値は 3 です。 別の例として、27 の立方根は ∛27 = 27^(1/3) = 3 です（n = 3 は奇数なので実数解は 1 つです）。負の被開数の例として ∛(−27) = −3 があります（奇数次なので実数解が存在します）。 実数 n 乗根の個数 実数の範囲での n 乗根の個数は n の偶奇と被開数の符号によって次のように決まります。 n の偶奇x > 0 の実数解x < 0 の実数解奇数1 個（正）1 個（負）偶数2 個（正と負）実数解なし（複素数のみ） 複素数の範囲では、0 でない数は必ずちょうど n 個の n 乗根を持ちます。これらは複素平面上の円周に等間隔（偏角 2π/n ずつ）に並びます。主値はそのうち偏角が最小の非負値をとるものです。 対数・指数との関係 n 乗根は自然対数を使って次のように表すこともできます（x > 0 の場合）。 xn=e(lnx)/n\sqrt[n]{x} = e^{(\ln x) / n}nx=e(lnx)/n この形式は、数値計算で直接べき乗演算が利用できない場合に用いられます。x < 0 かつ n が奇数の場合は −(ⁿ√|x|) として計算します。 応用例 図形の辺長計算： 体積 V の立方体の一辺は ∛V で求められます。 複利計算： n 期間で資産が F 倍になる場合、1 期あたりの倍率は ⁿ√F です。 統計・信号処理： n 個の数の幾何平均はそれらの積の n 乗根に等しく、ⁿ√(x₁x₂⋯xₙ) と表せます。 よくある質問 (FAQ)偶数乗根を負の数にとることはできますか実数の範囲ではできません。任意の実数 r を偶数回掛け合わせた結果は常に 0 以上であるため、r^n = x を満たす実数 r は x < 0 のとき存在しません。たとえば 3² = 9 かつ (−3)² = 9 であり、どちらも正になります。したがって √(−9) に対応する実数解はなく、結果は虚数単位 i を含む複素数（3i）になります。 主値と n 乗根の一般的な定義はどう違いますか平方根記号 √ は主値（非負の実数解）を表す特別な場合で、n = 2 の n 乗根に相当します。n 乗根の主値は「x と同符号の実数解」として定義されます。x > 0 のとき主値は正、x < 0 かつ n が奇数のとき主値は負になります。主値という規約によって、関数として一意な値を返せるようになります。根号 ⁿ√ は常に主値を指します。 n乗根と分数指数の関係はどのようなものですかn 乗根と指数 1/n は同じ演算です。ⁿ√x = x^(1/n) という等式は、指数の乗算規則 (x^a)^b = x^(ab) から直接導かれます。(x^(1/n))^n = x^(n/n) = x^1 = x となり、x^(1/n) が n 乗の逆演算であることが確認できます。より一般に x^(m/n) = ⁿ√(x^m) が成り立ち、べき乗と根を一つの分数指数で表すことができます。電卓では y^x キーや x^(1/n) キーを使って任意の根を計算できます。 n乗根はなぜ複数存在することがありますか方程式 t^n = x の実数解の個数は n の偶奇によって決まります。n が偶数で x > 0 のとき、t = ⁿ√x と t = −ⁿ√x の 2 つが成立し、実数解が 2 個あります。n が奇数のとき、実数解はちょうど 1 個で、x の符号と同じ符号を持ちます。複素数の範囲では、0 でない数は必ずちょうど n 個の n 乗根を持ち、複素平面上の円周に等間隔に並びます。主値はそのうち偏角（argument）が最小の非負値をとるものです。 次のおすすめ 累乗の計算 底 b を指数 n 乗した値と逆数 b^(−n) を計算します。正・負・分数の指数に対応し、導出式を表示します。 詳しく解説対数の計算 正の数の対数をまとめて計算。底bの対数・常用対数（log₁₀）・自然対数（ln）・二進対数（log₂）を一度に表示します。 詳しく解説二次方程式の解 ax² + bx + c = 0 を解きます。3つの係数を入力すると、判別式と2つの解（実数または複素数）が求まります。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 数論の他の計算 n乗根の計算ローマ数字変換ツール合同算術の計算最大公約数・最小公倍数の計算指数表記（科学的記数法）変換器数値の丸め +5 more Show less 整除性チェッカー素因数分解の計算素数チェッカー対数の計算累乗の計算 数学の他のカテゴリ 代数 2元連立一次方程式の解（クラメールの公式）一次方程式の計算（ax + b = c）行列の積（2×2・3×3）三次方程式の解絶対値方程式の解（|ax + b| = c）多項式の値の計算（ホーナー法）多項式の定積分多項式の微分計算二次方程式の解判別式の計算平方完成の計算平面幾何 2点を通る直線の方程式2点間の距離計算ピタゴラスの定理の計算円の弦と弧の計算円の面積・円周の計算円環面積の計算円弧の長さの計算三角形の外接円の計算三角形の計算（ASA）― 1辺と2角から全要素を求める三角形の計算（SAS）― 2辺と夾角から全要素を求める三角形の計算（SSS）― 3辺から全要素を求める三角形の面積計算正三角形の計算正多角形の計算扇形の面積計算楕円の面積・周の長さの計算台形の面積計算中点計算ツール直角三角形の計算直角二等辺三角形（45-45-90）の計算直線の傾き計算ツール点と直線の距離二等辺三角形の計算平行四辺形の面積計算立体幾何 トーラス体積の計算円錐の体積・表面積の計算円錐台（切頭円錐）の計算円柱の体積・表面積の計算球の体積・表面積の計算四角錐の体積・表面積の計算四角錐台の体積楕円体の体積・表面積の計算直方体の体積・表面積の計算半球の体積・表面積の計算立方体の計算 — 体積・表面積・対角線三角法 ベクトルの大きさの計算外積の計算（3次元ベクトル）逆三角関数の計算（arcsin・arccos・arctan）三角関数の計算（sin・cos・tan）正弦定理 — AAS（二角一辺）の計算内積の計算余弦定理の計算統計 Zスコア計算ツールパーセンタイルと四分位数の計算ピアソン相関係数の計算ツール加重平均の計算幾何平均の計算記述統計量計算ツール誤差率（百分率誤差）の計算信頼区間の計算分散・標準偏差の計算平均・中央値・最頻値の計算変動係数（CV）の計算確率 カード確率の計算サイコロ確率の計算ポアソン分布の計算階乗の計算（n!）幾何分布の計算順列の計算 — P(n, r)条件付き確率・ベイズの定理計算ツール正規分布計算ツール組み合わせの計算 — C(n, r)二項確率の計算離散確率変数の期待値の計算数列・級数 フィボナッチ数列の計算等差数列の計算等比数列の計算平均変化率計算ツール分数・パーセント パーセント計算比・比例の計算分数・小数・百分率の変換分数の四則演算 この計算機は役に立ちましたか？ 役に立った 改善が必要 改善が必要 どのような点が改善されると良いですか？ フィードバックを送信 Powered by OneCalc ↗
最終更新: 2026-06-05 数 x の n 乗根（累乗根）とは、n 乗すると x になる数 r のことです。すなわち r^n = x を満たす r が n 乗根です。n = 2 のときは平方根、n = 3 のときは立方根と呼ばれます。 定義と主値の規約 x ≥ 0 で n が偶数のとき、r^n = x を満たす実数解は正と負の 2 つ存在します。n が奇数のときは符号にかかわらず実数解はちょうど 1 つです。複数の候補がある場合に関数として一意な値を定めるため、**主値（主値の n 乗根）**を次のように規約します。 x ≥ 0 のとき、ⁿ√x ≥ 0（非負の実数解） x < 0 かつ n が奇数のとき、ⁿ√x < 0（負の実数解） 根号 ⁿ√ は常にこの主値を指します。主値の規約により、ⁿ√x は「1 入力・1 出力」の関数として扱えます。 計算式 n 乗根の主値は次の式で求められます。 xn=sign(x)⋅∣x∣1/n\sqrt[n]{x} = \operatorname{sign}(x) \cdot |x|^{1/n}nx=sign(x)⋅∣x∣1/n ここで sign(x) は x > 0 のとき +1、x = 0 のとき 0、x < 0 のとき −1 です。x ≥ 0 のときは x^(1/n) と一致します。x < 0 かつ n が奇数のときは正しく負の値を返します（例：∛(−8) = −2）。 分数指数との等価性 n 乗根と指数 1/n は同じ演算です。 xn=x1/n\sqrt[n]{x} = x^{1/n}nx=x1/n この等式は指数法則 (x^a)^b = x^(ab) から導かれます。(x^(1/n))^n = x^(n/n) = x^1 = x となり、x^(1/n) が n 乗の逆演算であることが確認できます。より一般に、分数指数 m/n を使うと次の等式が成り立ちます。 xm/n=xmnx^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}xm/n=nxm これにより、べき乗と根を分数指数一つで表現できます。 偶数次の根と負の被開数 n が偶数のとき、任意の実数 r を n 乗した結果は常に 0 以上になります（負の数を偶数回掛け合わせると正になるためです）。したがって r^n = x < 0 を満たす実数 r は存在せず、実数の範囲で偶数次の根を負の数にとることはできません。 たとえば √(−9) の実数解は存在しません。−3 は (−3)² = 9 を満たしますが、−9 の平方根ではありません。偶数次・負の被開数の根は虚数単位 i を含む複素数（√(−9) = 3i）になります。 計算例 問題： 81 の 4 乗根の主値を求め、実数解をすべて列挙してください。 ① 計算式を適用します。⁴√81 = 81^(1/4)。 ② 3⁴ = 81 であるから、81^(1/4) = 3 です。 ③ 主値は 3 です。 ④ n = 4 は偶数、x = 81 > 0 であるため、もう一つの実数解 −3 が存在します。 ⑤ 確認：(−3)⁴ = 81。成立します。 81 の実数 4 乗根は 3 と −3 の 2 つで、主値は 3 です。 別の例として、27 の立方根は ∛27 = 27^(1/3) = 3 です（n = 3 は奇数なので実数解は 1 つです）。負の被開数の例として ∛(−27) = −3 があります（奇数次なので実数解が存在します）。 実数 n 乗根の個数 実数の範囲での n 乗根の個数は n の偶奇と被開数の符号によって次のように決まります。 n の偶奇x > 0 の実数解x < 0 の実数解奇数1 個（正）1 個（負）偶数2 個（正と負）実数解なし（複素数のみ） 複素数の範囲では、0 でない数は必ずちょうど n 個の n 乗根を持ちます。これらは複素平面上の円周に等間隔（偏角 2π/n ずつ）に並びます。主値はそのうち偏角が最小の非負値をとるものです。 対数・指数との関係 n 乗根は自然対数を使って次のように表すこともできます（x > 0 の場合）。 xn=e(lnx)/n\sqrt[n]{x} = e^{(\ln x) / n}nx=e(lnx)/n この形式は、数値計算で直接べき乗演算が利用できない場合に用いられます。x < 0 かつ n が奇数の場合は −(ⁿ√|x|) として計算します。 応用例 図形の辺長計算： 体積 V の立方体の一辺は ∛V で求められます。 複利計算： n 期間で資産が F 倍になる場合、1 期あたりの倍率は ⁿ√F です。 統計・信号処理： n 個の数の幾何平均はそれらの積の n 乗根に等しく、ⁿ√(x₁x₂⋯xₙ) と表せます。 よくある質問 (FAQ)偶数乗根を負の数にとることはできますか実数の範囲ではできません。任意の実数 r を偶数回掛け合わせた結果は常に 0 以上であるため、r^n = x を満たす実数 r は x < 0 のとき存在しません。たとえば 3² = 9 かつ (−3)² = 9 であり、どちらも正になります。したがって √(−9) に対応する実数解はなく、結果は虚数単位 i を含む複素数（3i）になります。 主値と n 乗根の一般的な定義はどう違いますか平方根記号 √ は主値（非負の実数解）を表す特別な場合で、n = 2 の n 乗根に相当します。n 乗根の主値は「x と同符号の実数解」として定義されます。x > 0 のとき主値は正、x < 0 かつ n が奇数のとき主値は負になります。主値という規約によって、関数として一意な値を返せるようになります。根号 ⁿ√ は常に主値を指します。 n乗根と分数指数の関係はどのようなものですかn 乗根と指数 1/n は同じ演算です。ⁿ√x = x^(1/n) という等式は、指数の乗算規則 (x^a)^b = x^(ab) から直接導かれます。(x^(1/n))^n = x^(n/n) = x^1 = x となり、x^(1/n) が n 乗の逆演算であることが確認できます。より一般に x^(m/n) = ⁿ√(x^m) が成り立ち、べき乗と根を一つの分数指数で表すことができます。電卓では y^x キーや x^(1/n) キーを使って任意の根を計算できます。 n乗根はなぜ複数存在することがありますか方程式 t^n = x の実数解の個数は n の偶奇によって決まります。n が偶数で x > 0 のとき、t = ⁿ√x と t = −ⁿ√x の 2 つが成立し、実数解が 2 個あります。n が奇数のとき、実数解はちょうど 1 個で、x の符号と同じ符号を持ちます。複素数の範囲では、0 でない数は必ずちょうど n 個の n 乗根を持ち、複素平面上の円周に等間隔に並びます。主値はそのうち偏角（argument）が最小の非負値をとるものです。
