Risolutore di equazioni con valore assoluto (|ax + b| = c)

Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Che cos'è un'equazione con valore assoluto?

Un'equazione con valore assoluto della forma $|ax + b| = c$ chiede di trovare tutti i valori di $x$ la cui immagine attraverso la funzione lineare $ax + b$ si trova esattamente a distanza $c$ dall'origine. Questo calcolatore gestisce tutti e tre i casi possibili: due soluzioni, una soluzione e nessuna soluzione reale.

Come funziona la formula

Il principio fondamentale è che $|\text{espressione}| = c$ significa che l'espressione è uguale a $c$ oppure a $-c$, poiché entrambi i valori distano $c$ dall'origine. L'equazione con valore assoluto si scinde quindi in due equazioni lineari ordinarie:

$$ax + b = c \quad \text{e} \quad ax + b = -c$$

Risolvendo ciascuna in $x$ (con $a \neq 0$):

$$x_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}$$

I tre casi

Caso 1: c > 0 — due soluzioni

Quando $c$ è positivo, le due equazioni precedenti forniscono valori distinti di $x$. Entrambi soddisfano l'equazione originale.

Esempio: Risolvere $|2x - 3| = 7$.

Si identificano: $a = 2$, $b = -3$, $c = 7$.

$$x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Verifica: $|2 \cdot 5 - 3| = |7| = 7$ ✓ e $|2 \cdot (-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓

Caso 2: c = 0 — una soluzione

Quando $c = 0$, le due equazioni si riducono a un'unica equazione $ax + b = 0$. Le due formule forniscono lo stesso risultato:

$$x_1 = x_2 = \frac{-b}{a}$$

Esempio: $|2x - 4| = 0 \Rightarrow x = 4/2 = 2$.

Caso 3: c < 0 — nessuna soluzione reale

Il valore assoluto è sempre non negativo: $|ax + b| \geq 0$ per ogni $x$ reale. Un $c$ negativo chiede quando una quantità non negativa è uguale a un numero negativo — il che è impossibile. L'equazione non ha soluzioni reali.

Esempio: $|2x - 3| = -5$ non ha soluzione.

Perché funziona — l'interpretazione geometrica

Sulla retta dei numeri reali, $|u|$ rappresenta la distanza del punto $u$ dall'origine. Ponendo $u = ax + b$:

$$|ax + b| = c$$

si chiede: "Per quali $x$ l'immagine della funzione lineare $ax + b$ si trova esattamente a distanza $c$ dall'origine?" Poiché la distanza è simmetrica, esistono al più due tali punti ($+c$ e $-c$), e da ciascuno si ricava un valore di $x$.

Questa lettura geometrica spiega anche perché $c < 0$ non ha soluzioni: la distanza non è mai negativa, quindi non esistono punti a distanza negativa dall'origine.

Il caso a = 0

Se $a = 0$, l'equazione diventa $|b| = c$, che non contiene più $x$. Il calcolatore considera $a = 0$ un input non valido e mostra un messaggio di errore, perché in questo caso non si tratta di un'equazione in $x$, bensì di una semplice relazione aritmetica tra $b$ e $c$.

Domande frequenti (FAQ)

Perché un'equazione con valore assoluto può avere due soluzioni?

|ax + b| = c significa che l'espressione all'interno delle barre è uguale a c oppure a −c, poiché entrambi i valori hanno lo stesso valore assoluto. L'equazione si spezza così in due equazioni lineari — ax + b = c e ax + b = −c — ognuna delle quali fornisce un proprio valore di x. Quando c > 0, le due equazioni danno soluzioni distinte; quando c = 0, entrambe si riducono alla stessa equazione e si ottiene un'unica soluzione.

Cosa succede quando c è negativo?

Il valore assoluto è sempre ≥ 0, quindi |ax + b| non può mai essere uguale a un numero negativo. Quando c < 0, l'equazione |ax + b| = c non ha soluzioni reali: non esiste alcun valore di x che renda una quantità non negativa uguale a qualcosa di negativo.

Qual è il significato geometrico di |x| sulla retta dei numeri?

Sulla retta dei numeri reali, |x| rappresenta la distanza di x dall'origine. Più in generale, |ax + b| è la distanza del punto ax + b dall'origine. Risolvere |ax + b| = c equivale quindi a chiedersi: "per quali valori di x l'espressione ax + b si trova esattamente a distanza c dall'origine?" I due punti a questa distanza sono c e −c, da cui si ottengono al più due valori di x.

Qual è la differenza tra un'equazione e una disequazione con valore assoluto?

Un'equazione con valore assoluto (|ax + b| = c) richiede i valori esatti di x per cui l'espressione è uguale a c — la soluzione è un insieme finito di punti. Una disequazione con valore assoluto (|ax + b| < c oppure |ax + b| > c) richiede invece tutti i valori di x per cui l'espressione è minore o maggiore di c — la soluzione è un intervallo o un'unione di intervalli. L'equazione rappresenta il caso limite della disequazione corrispondente.