Calcolatore di Probabilità Binomiale

Calcola P(X=k), P(X≤k) e P(X≥k) per una distribuzione binomiale. Inserisci il numero di prove, il numero di successi e la probabilità di successo per prova.

Dati di input

0 – 1

Risultati

\begin{aligned} P(X=k) &= \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \\ &= (?)(0,5)^{ 3 }(1-0,5)^{ 10-3 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= np \\ &= (10)(0,5) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{np(1-p)} \\ &= \sqrt{(10)(0,5)(1-0,5)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \binom{n}{k} &= \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \dfrac{10!}{3!(10-3)!} \\ &= ? \end{aligned}
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Cos'è la distribuzione binomiale?

La distribuzione binomiale modella il numero di successi in un numero fisso di prove indipendenti, ciascuna con la stessa probabilità di successo. Lanciare una moneta 10 volte e contare le teste, controllare 100 pezzi e rilevare i difetti, o intervistare 50 elettori — tutti questi casi seguono il modello binomiale quando ogni prova ha solo due esiti possibili e le prove sono indipendenti tra loro.

Formule

Per nn prove, kk successi e probabilità di successo pp per prova:

Combinazioni (numero di modi per scegliere kk successi su nn prove):

C(n,k)=(nk)=n!k!(n−k)!C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Probabilità esatta:

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Probabilità cumulata (al più kk successi):

P(X≤k)=∑i=0k(ni)pi(1−p)n−iP(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

Almeno kk successi:

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

Media e deviazione standard:

μ=npσ=np(1−p)\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Esempio svolto: lancio di moneta

Si lanci una moneta equilibrata ($p = 0{,}5$) 10 volte. Qual è la probabilità di ottenere esattamente 3 teste?

P(X=3)=(103)×0,53×0,57=1201024≈11,72%P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = \frac{120}{1024} \approx 11{,}72\%

Circa l'11,7%. La probabilità cumulata di ottenere 3 teste o meno:

P(X≤3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=1+10+45+1201024=1761024≈17,2%P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} = \frac{176}{1024} \approx 17{,}2\%

E 3 teste o più: P(X≥3)=1−P(X≤2)=1−56/1024≈94,5%P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 56/1024 \approx 94{,}5\%.

Applicazioni pratiche

Controllo qualità: Una fabbrica produce bulloni con un tasso di difettosità del 2%. Ispezionando un lotto di 50 pezzi, qual è la probabilità di trovare più di 2 difetti? Si usino $n = 50$, $p = 0{,}02$ e si calcoli P(X>2)=1−P(X≤2)P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2).

Sperimentazione clinica: Un farmaco ha un tasso di successo del 70%. In uno studio su 20 pazienti, qual è la probabilità che almeno 15 rispondano al trattamento? Si usino $n = 20$, $p = 0{,}7$ e si calcoli P(X≥15)P(X \geq 15).

Sondaggio elettorale: In una città dove il 40% degli abitanti sostiene una misura, qual è la probabilità che esattamente 5 dei 12 elettori selezionati casualmente siano favorevoli?

Approssimazione normale

Per nn grande, la distribuzione binomiale assomiglia a una curva a campana. L'approssimazione X≈N(μ,σ2)X \approx N(\mu, \sigma^2) è affidabile quando:

np≥5en(1−p)≥5np \geq 5 \quad \text{e} \quad n(1-p) \geq 5

Si applichi la correzione di continuità: P(X=k)≈P(k−0,5<Z<k+0,5)P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 < Z < k + 0{,}5), dove ZZ è la normale standard.

Per $n = 10$, $p = 0{,}5$: $np = 5$ è al limite — l'approssimazione è ancora grezza. A partire da $n = 100$ o superiore, diventa eccellente.

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la formula della probabilità binomiale?

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k), dove C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) è il numero di modi per scegliere k successi tra n prove. Ad esempio, la probabilità di ottenere esattamente 3 teste in 10 lanci di una moneta equa è: P = C(10,3) × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 × (1/1024) ≈ 0,1172 (circa l'11,7%).

Come si calcola la probabilità binomiale cumulata?

P(X ≤ k) è la somma P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k). Per ottenere al massimo 3 teste in 10 lanci: P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0,172. La probabilità complementare P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) rappresenta la probabilità di ottenere almeno k successi.

Quali sono la media e la deviazione standard di una distribuzione binomiale?

Media: μ = n × p. Deviazione standard: σ = √(np(1−p)). Per 10 prove con p = 0,5: μ = 5 e σ = √2,5 ≈ 1,58. La media indica il numero atteso di successi; la deviazione standard misura quanto il risultato effettivo tende a discostarsi da tale valore.

Quando si può approssimare la distribuzione binomiale con quella normale?

L'approssimazione normale è appropriata quando np ≥ 5 e n(1−p) ≥ 5. In tal caso X ≈ N(μ, σ²) con μ = np e σ² = np(1−p). Applicando la correzione di continuità: P(X = k) ≈ P(k−0,5 < Z < k+0,5). Per n = 10 e p = 0,5, np = 5 si trova esattamente al limite; l'approssimazione diventa notevolmente più affidabile per n ≥ 30.

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