Calcolatore del Cerchio Circoscritto

Ultimo aggiornamento: 2026-05-20

Cerchio circoscritto a un triangolo

Il cerchio circoscritto (detto anche circonferenza circonscritta) di un triangolo è il cerchio unico che passa per tutti e tre i vertici. Il suo raggio $R$ prende il nome di raggio circoscritto (o circonraggio), e il suo centro è chiamato circocentro. Questo calcolatore determina $R$, l'area e la lunghezza della circonferenza a partire dalle sole tre lunghezze dei lati $a$, $b$, $c$.

Ogni triangolo possiede esattamente un cerchio circoscritto — a differenza, ad esempio, di un quadrilatero generico. Il cerchio circoscritto è fondamentale nella geometria classica e il suo raggio compare in molti contesti della trigonometria.

Come si calcola il raggio circoscritto

La formula standard combina la formula di Erone per l'area del triangolo con il prodotto dei lati.

Passo 1 — Semiperimetro:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Passo 2 — Area del triangolo (formula di Erone):

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Passo 3 — Raggio circoscritto:

$R = \frac{abc}{4S}$

Esempio guidato — il triangolo 7-8-9:

$s = \frac{7+8+9}{2} = 12$

$S = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26{,}83$

$R = \frac{7 \times 8 \times 9}{4 \times 26{,}83} = \frac{504}{107{,}3} \approx 4{,}70$

L'area del cerchio circoscritto è quindi $\pi R^2 \approx 69{,}4$ e la sua circonferenza $2\pi R \approx 29{,}5$.

Posizione del circocentro

Il circocentro $O$ è il punto equidistante da tutti e tre i vertici. Geometricamente coincide con l'intersezione degli assi dei lati (le rette perpendicolari ai lati nel loro punto medio). La sua posizione rispetto al triangolo dipende dal tipo:

Tipo di triangolo	Posizione del circocentro
Acutangolo (tutti gli angoli < 90°)	Interno al triangolo
Rettangolo (un angolo = 90°)	Nel punto medio dell'ipotenusa
Ottusangolo (un angolo > 90°)	Esterno al triangolo

Il caso del triangolo rettangolo è un'utile verifica: per i lati 3, 4, 5 il circocentro cade nel punto medio dell'ipotenusa, dando $R = 5/2 = 2{,}5$ — lo stesso risultato della formula $R = abc/(4S) = 60/24 = 2{,}5$.

Collegamento con la legge dei seni

Il raggio circoscritto ha un legame elegante con gli angoli attraverso la legge dei seni generalizzata:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Questo significa che $R$ è la metà del rapporto tra ciascun lato e il seno dell'angolo opposto. Spiega anche il risultato per i triangoli rettangoli: quando $C = 90°$, $\sin C = 1$, quindi $2R = c$, ovvero $R = c/2$.

Cerchio circoscritto e cerchio inscritto a confronto

Il cerchio inscritto è tangente internamente ai tre lati del triangolo. Il suo raggio $r$ vale:

$r = \frac{S}{s}$

I due raggi soddisfano la disuguaglianza $R \geq 2r$: il raggio circoscritto è sempre almeno il doppio del raggio inscritto. Il rapporto minimo $R/r = 2$ si raggiunge solo nel triangolo equilatero. Per il triangolo 3-4-5: $R = 2{,}5$, $r = 6/6 = 1$, dunque $R/r = 2{,}5$ — maggiore del minimo.

Entrambi dipendono dalla stessa area $S$ e dallo stesso semiperimetro $s$, ma codificano proprietà geometriche diverse: $R$ misura quanto il triangolo si estende verso l'esterno, $r$ quanto spazio rimane all'interno.

Disuguaglianza triangolare

La formula fornisce un risultato reale soltanto quando i tre lati formano un triangolo valido. La disuguaglianza triangolare richiede:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Se una delle condizioni non è soddisfatta, il triangolo non esiste. Ad esempio, i lati 1, 2 e 10 non sono validi perché $1 + 2 = 3 < 10$: la formula di Erone produrrebbe un valore negativo sotto la radice, rendendo $R$ indefinito.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos'è il raggio del cerchio circoscritto?

Il raggio circoscritto R è il raggio del cerchio che passa per tutti e tre i vertici del triangolo. Per un triangolo con lati a, b, c e area S, la formula è R = abc ÷ (4S). Ad esempio, per il triangolo rettangolo 3-4-5: S = 6, quindi R = (3 × 4 × 5) ÷ (4 × 6) = 60 ÷ 24 = 2,5. In qualsiasi triangolo rettangolo, R è esattamente la metà dell'ipotenusa.

Dove si trova il circocentro?

Il circocentro O è il punto equidistante da tutti e tre i vertici del triangolo. Geometricamente, coincide con l'intersezione degli assi dei tre lati (assi di simmetria dei segmenti). La sua posizione rispetto al triangolo dipende dal tipo: nei triangoli acutangoli è interno; nei triangoli rettangoli cade esattamente nel punto medio dell'ipotenusa; nei triangoli ottusangoli è esterno, dal lato opposto al lato maggiore.

Qual è la differenza tra cerchio circoscritto e cerchio inscritto?

Il cerchio circoscritto passa per tutti e tre i vertici e ha raggio R = abc ÷ (4S). Il cerchio inscritto è tangente internamente ai tre lati e ha raggio r = S ÷ s, dove s = (a + b + c) ÷ 2 è il semiperimetro. Per il triangolo 3-4-5: R = 2,5 e r = 1. Vale sempre la disuguaglianza R ≥ 2r: il raggio circoscritto è sempre almeno il doppio del raggio inscritto. Il rapporto minimo R/r = 2 si raggiunge solo nel triangolo equilatero.

Come si collega il raggio circoscritto alla legge dei seni?

La legge dei seni generalizzata afferma che a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R. Questo significa che R è la metà del rapporto tra ciascun lato e il seno dell'angolo opposto. Ad esempio, con a = 5 e sin A = 0,6: R = 5 ÷ (2 × 0,6) ≈ 4,167. Nei triangoli rettangoli (angolo 90°, sin = 1) si ottiene R = ipotenusa ÷ 2, e i tre rapporti lato ÷ seno(angolo opposto) risultano tutti uguali.