Completamento del quadrato — calcolatore

Ultimo aggiornamento: 2026-05-20

Cos'è il completamento del quadrato?

Il completamento del quadrato è una tecnica algebrica che riscrive un'espressione quadratica $ax^2 + bx + c$ nella sua forma canonica $a(x - h)^2 + k$, dove $(h, k)$ è il vertice della parabola. Questo calcolatore esegue la trasformazione in un passaggio e mostra la derivazione per intero.

Il metodo del completamento del quadrato

Partendo da $ax^2 + bx + c$:

Passo 1 — Calcolo di h (ascissa del vertice):

$$h = -\frac{b}{2a}$$

Passo 2 — Calcolo di k (ordinata del vertice):

$$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

Passo 3 — Scrittura della forma canonica:

$$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$$

Giustificazione algebrica

Si raccoglie $a$ dai primi due termini e si completa il quadrato:

$$a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c$$

Il termine $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ viene aggiunto all'interno della parentesi (acquistando $a \cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a}$) e immediatamente sottratto all'esterno, mantenendo l'equivalenza. Sostituendo $h = -\frac{b}{2a}$ e $k = c - \frac{b^2}{4a}$ si ottiene $a(x - h)^2 + k$.

Esempio svolto

Riscrivere $x^2 - 6x + 11$ in forma canonica.

Con $a = 1$, $b = -6$, $c = 11$:

$$h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$$ $$k = 11 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 11 - 9 = 2$$ $$x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$$

Verifica: sviluppando $(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$ ✓

Il vertice è $(3, 2)$, l'asse di simmetria è $x = 3$ e il valore minimo della funzione è $2$.

Significato delle coordinate del vertice

Proprietà	Valore
Vertice	$(h,\, k)$
Asse di simmetria	$x = h$
Minimo (se $a > 0$)	$y = k$ per $x = h$
Massimo (se $a < 0$)	$y = k$ per $x = h$

Quando $a > 0$, la parabola è concava verso l'alto (forma ∪) e il vertice è il punto più basso. Quando $a < 0$, è concava verso il basso (forma ∩) e il vertice è il punto più alto. Il valore assoluto $|a|$ determina l'apertura: $|a|$ grande produce una parabola stretta; $|a|$ piccolo produce una parabola larga.

Derivazione della formula risolutiva

Il completamento del quadrato è anche alla base della formula risolutiva per le equazioni di secondo grado. Partendo da $ax^2 + bx + c = 0$, si converte in forma canonica e si isola $x$:

$$a(x - h)^2 + k = 0 \implies (x - h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x - h = \pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$$

Sostituendo $h = -\frac{b}{2a}$ e $k = c - \frac{b^2}{4a}$ e semplificando:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Si ottiene così la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado — il completamento del quadrato ne costituisce la dimostrazione per la forma generale.

Applicazioni

• Trovare il vertice della parabola senza tracciare il grafico.
• Risolvere equazioni di secondo grado quando la fattorizzazione è difficile.
• Dimostrare la formula risolutiva a partire dai principi fondamentali.
• Analisi delle parabole in fisica e ingegneria (moto parabolico, ottica, antenne paraboliche).
• Analisi matematica — riconoscere la forma canonica semplifica l'integrazione di funzioni razionali.

Domande frequenti (FAQ)

A cosa serve il completamento del quadrato?

Il completamento del quadrato trasforma ax² + bx + c nella forma a(x − h)² + k, detta forma canonica, in cui il vertice (h, k) è immediatamente leggibile. Questo permette di individuare il minimo (o il massimo) della parabola senza ricorrere al calcolo differenziale, di ricavare la formula risolutiva e di tracciare rapidamente il grafico grazie all'asse di simmetria x = h e al valore estremo y = k.

Come si ricava la formula risolutiva con il completamento del quadrato?

La formula risolutiva x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) si ottiene applicando il completamento del quadrato alla forma generale ax² + bx + c = 0. Si divide per a, si ottiene x² + (b/a)x + c/a = 0, poi si aggiunge e si sottrae (b/(2a))² per costruire il quadrato perfetto (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). Estraendo la radice e isolando x si giunge alla formula risolutiva — il completamento del quadrato ne è la dimostrazione.

Che cosa rappresentano le coordinate del vertice (h, k)?

Il vertice è il punto di inversione della parabola. Quando a > 0, la parabola è concava verso l'alto e il vertice è il punto di minimo: il valore minimo di ax² + bx + c è k, raggiunto per x = h. Quando a < 0, la parabola è concava verso il basso e (h, k) è il punto di massimo. La retta x = h è l'asse di simmetria: la parabola è simmetrica rispetto ad essa.

Come influisce il segno di a sulla parabola?

Se a > 0, la parabola è concava verso l'alto (forma ∪) e il vertice è un minimo. Se a < 0, è concava verso il basso (forma ∩) e il vertice è un massimo. Il valore assoluto |a| controlla l'apertura: |a| grande produce una parabola stretta e ripida; |a| piccolo produce una parabola larga e aperta. Se a = 0, l'espressione si riduce a una retta e il completamento del quadrato non è definito.