Prodotto vettoriale di due vettori 3D

Calcola il prodotto vettoriale di due vettori 3D: componenti del vettore risultante, modulo e area del parallelogramma. Con svolgimento passo per passo.

Dati di input

Risultati

\begin{aligned} c_1 &= a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ &= (2)(6) - (3)(5) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} c_2 &= a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ &= (3)(4) - (1)(6) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} c_3 &= a_1 b_2 - a_2 b_1 \\ &= (1)(5) - (2)(4) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} |\mathbf{c}| &= \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \\ &= \sqrt{(?)^2 + (?)^2 + (?)^2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} A &= |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \\ &= ? \end{aligned}

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Cos'è il prodotto vettoriale?

Il prodotto vettoriale di due vettori a e b nello spazio tridimensionale è un terzo vettore c = a × b, perpendicolare a entrambi, con modulo |a||b|sin θ, dove θ è l'angolo compreso tra i due vettori.

Formula

Il prodotto vettoriale si calcola tramite il determinante 3×3 con i versori degli assi coordinati sulla prima riga:

a×b=∣ijka1a2a3b1b2b3∣=(a2b3−a3b2) i−(a1b3−a3b1) j+(a1b2−a2b1) k\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\,\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\,\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,\mathbf{k}

Sviluppando i cofattori si ottengono le tre componenti scalari:

c1=a2b3−a3b2,c2=a3b1−a1b3,c3=a1b2−a2b1c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2, \quad c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3, \quad c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1

Il modulo del vettore risultante (uguale all'area del parallelogramma individuato da a e b) è:

∣a×b∣=c12+c22+c32|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2}

La regola della mano destra

Il verso di a × b si determina con la regola della mano destra: si orientano le dita della mano destra nella direzione di a, si ruotano verso b attraverso l'angolo minore e il pollice indica il verso di a × b. Da questa costruzione discende l'anticommutatività del prodotto vettoriale: b × a = −(a × b). Invertire l'ordine dei fattori inverte il verso del risultato, ma non ne cambia il modulo.

Esempio numerico

Siano a = (1, 2, 3) e b = (4, 5, 6).

c1=(2)(6)−(3)(5)=12−15=−3c_1 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3 c2=(3)(4)−(1)(6)=12−6=6c_2 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6 c3=(1)(5)−(2)(4)=5−8=−3c_3 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3

Il prodotto vettoriale è quindi a × b = (−3, 6, −3). Il modulo vale:

(−3)2+62+(−3)2=9+36+9=54=36≈7,348\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}348

Questo valore è al contempo l'area del parallelogramma avente per lati a e b.

Interpretazione geometrica

Il modulo |a × b| misura l'area del parallelogramma i cui lati adiacenti sono i vettori a e b. La metà di tale area è l'area del triangolo delimitato dai due vettori, relazione che in geometria analitica e in grafica tridimensionale permette di calcolare le aree di superfici triangolate a partire dalle coordinate dei vertici.

Quando i due vettori sono paralleli, sin θ = 0 e quindi a × b = 0. Questa proprietà fornisce un criterio utile per verificare la collinearità: se il prodotto vettoriale dei vettori che uniscono tre punti è il vettore nullo, i punti sono allineati.

Validità nelle tre dimensioni

La costruzione standard del prodotto vettoriale richiede esattamente tre dimensioni perché il determinante 3×3 restituisce un unico vettore perpendicolare ai due assegnati. In due dimensioni manca il terzo asse; in quattro o più dimensioni l'insieme dei vettori perpendicolari a due vettori dati forma un sottospazio con più di una dimensione, per cui il risultato non è univoco. Una generalizzazione in sette dimensioni esiste attraverso l'algebra degli ottonioni, ma nella pratica — fisica, ingegneria, grafica — si utilizza quasi esclusivamente la forma tridimensionale.

Applicazioni

Il prodotto vettoriale compare in tutti i contesti in cui occorre determinare un asse perpendicolare o misurare un'area orientata:

  • Momento di una forza (coppia): τ = r × F, dove r è il braccio del momento e F è la forza applicata.
  • Momento angolare: L = r × p.
  • Normali alle superfici: in rendering 3D, la normale a un poligono triangolare si calcola come prodotto vettoriale di due vettori lato.
  • Forza di Lorentz: F = q(v × B) — la forza su una carica in moto in un campo magnetico.
  • Area di un triangolo: metà del modulo del prodotto vettoriale di due vettori lato.

Domande frequenti (FAQ)

Che significato geometrico ha il prodotto vettoriale?

Il prodotto vettoriale a × b restituisce un vettore perpendicolare sia ad a che a b. Il suo verso è determinato dalla regola della mano destra e il suo modulo vale |a||b|sin θ, dove θ è l'angolo compreso tra i due vettori. Geometricamente, il modulo corrisponde all'area del parallelogramma avente per lati a e b. Se a × b = 0, i vettori sono paralleli (o uno di essi è nullo).

Come funziona la regola della mano destra?

Si orientano le dita della mano destra nella direzione di a, si ruotano verso b attraverso l'angolo minore e il pollice indica la direzione di a × b. Il prodotto vettoriale è anticommutativo: b × a = −(a × b). Invertire l'ordine dei fattori inverte il verso del risultato.

Perché il prodotto vettoriale è definito solo in tre dimensioni?

La formula del prodotto vettoriale standard, basata sul determinante 3×3, richiede esattamente tre dimensioni per restituire un unico vettore perpendicolare ai due assegnati. In due dimensioni manca il terzo asse; in quattro o più dimensioni esistono infinite direzioni perpendicolari a due vettori dati, quindi il risultato non è univoco. Una generalizzazione in sette dimensioni è possibile mediante l'algebra degli ottonioni, ma nella pratica — fisica, ingegneria, grafica — si utilizza quasi esclusivamente la forma tridimensionale.

Quando il prodotto vettoriale è uguale a zero?

a × b = 0 quando i due vettori sono paralleli (o antiparalleli) oppure quando almeno uno di essi è il vettore nullo. In questi casi sin θ = 0, quindi |a||b|sin θ = 0. Dal punto di vista geometrico, due vettori paralleli non delimitano alcuna area: il parallelogramma degenera in un segmento.

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