Calcolatore di ellisse: area e perimetro

Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Definizione

Un'ellisse è una curva chiusa definita da due punti fissi detti fuochi: per ogni punto della curva, la somma delle sue distanze dai due fuochi è costante. Quando i due fuochi coincidono, l'ellisse diventa un cerchio — il cerchio è quindi un caso particolare dell'ellisse.

Ogni ellisse ha due assi di simmetria:

• Asse maggiore: il diametro più lungo, che passa per i due fuochi. La sua metà è il semiasse maggiore a.
• Asse minore: il diametro più corto, perpendicolare all'asse maggiore. La sua metà è il semiasse minore b.

Per convenzione a ≥ b > 0.

Formula dell'area

L'area di un'ellisse è:

A = π × a × b

Questa formula esatta fu dimostrata da Archimede nella sua opera Misura del cerchio, usando il metodo di esaustione — un precursore del calcolo integrale. Per a = b = r si riduce all'area del cerchio πr².

Esempio: un'ellisse con a = 6 cm e b = 4 cm ha:

A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm²

Perimetro (approssimazione)

A differenza dell'area, non esiste una formula chiusa semplice per il perimetro di un'ellisse. Il valore esatto richiede un integrale ellittico che non può essere espresso con funzioni elementari.

Questo calcolatore usa la prima approssimazione di Ramanujan (1914), di straordinaria precisione:

$P \approx \pi \times [3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}]$

Per a = b = r (cerchio):

$P = \pi \times [6r - 4r] = 2\pi r$ (esatto)

Per la maggior parte delle ellissi l'errore è inferiore allo 0,0001%.

Esempio risolto

Ellisse con a = 6 cm e b = 4 cm:

$P \approx \pi \times [3(6 + 4) - \sqrt{(3 \times 6 + 4)(6 + 3 \times 4)}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{22 \times 18}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{396}]$

= π × [30 − 19,90...]
≈ π × 10,10
≈ 31,73 cm

Eccentricità

L'eccentricità e misura quanto l'ellisse si discosta da un cerchio perfetto:

$e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$

Forma	Eccentricità
Cerchio	e = 0
Leggermente ovale	e ≈ 0,1–0,3
Moderatamente allungata	e ≈ 0,5–0,7
Molto allungata	e → 1

L'eccentricità di un'ellisse è sempre compresa tra 0 (incluso) e 1 (escluso).

Esempi reali

Le orbite planetarie sono ellissi con il Sole in un fuoco (prima legge di Keplero):

Corpo	Semiasse maggiore	Eccentricità
Orbita della Terra	149,6 milioni km	≈ 0,017
Orbita di Marte	227,9 milioni km	≈ 0,093
Cometa di Halley	2.667,9 milioni km	≈ 0,967

L'orbita terrestre è quasi circolare (e ≈ 0,017). Le stagioni dipendono dall'inclinazione dell'asse terrestre, non dalla variazione della distanza dal Sole.

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la formula per l'area di un'ellisse?

L'area di un'ellisse è A = π × a × b, dove a è il semiasse maggiore e b il semiasse minore. Questa formula esatta fu dimostrata da Archimede. Per a = 6 cm e b = 4 cm: A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm². Quando a = b = r si riduce all'area del cerchio πr².

Esiste una formula esatta per il perimetro di un'ellisse?

Non esiste una formula chiusa semplice per il perimetro di un'ellisse: il valore esatto richiede un integrale ellittico. In pratica si usa la prima approssimazione di Ramanujan: P ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]. Per a = b (cerchio) fornisce esattamente 2πr, con un errore inferiore allo 0,0001% per qualsiasi ellisse.

Cosa indica l'eccentricità di un'ellisse?

L'eccentricità e = √(1 − (b/a)²) misura quanto l'ellisse si discosta da un cerchio perfetto. e = 0 corrisponde a un cerchio; più e si avvicina a 1, più l'ellisse è allungata. L'orbita terrestre ha e ≈ 0,017 (quasi circolare); la cometa di Halley ha e ≈ 0,967 (molto allungata).

Qual è la differenza tra un'ellisse e un ovale?

Un'ellisse è una curva matematicamente precisa: la somma delle distanze di ogni punto della curva dai due fuochi è costante. "Ovale" è un termine informale per qualsiasi curva chiusa, liscia e arrotondata. Le uova sono ovali ma non ellissi, perché asimmetriche. Ogni ellisse è un ovale, ma non ogni ovale è un'ellisse.