Calcolatore Triangolo Equilatero

Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Definizione

Il triangolo equilatero è un triangolo con i tre lati uguali e i tre angoli interni di 60° ciascuno. La simmetria implica che un unico valore — la lunghezza del lato $a$ — determina completamente tutte le altre misure: altezza, area, perimetro e raggi circoscritto e inscritto.

Altezza

Traccia una perpendicolare da un qualsiasi vertice al lato opposto. Per simmetria essa biseca quel lato, creando due triangoli 30-60-90 congruenti con ipotenusa $a$ e cateto minore $\tfrac{a}{2}$. Per il teorema di Pitagora:

$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Per $a = 6$: $h = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196$

Area

Dalla formula $S = \tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altezza}$:

$S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Per $a = 6$: $S = 9\sqrt{3} \approx 15{,}588$

Raggio circoscritto e raggio inscritto

Raggio circoscritto $R$ (raggio del cerchio passante per i tre vertici):

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Raggio inscritto $r$ (raggio del cerchio inscritto tangente ai tre lati):

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{h}{3}$

Un'identità notevole: $R = 2r$. Nel triangolo equilatero, circocentro, incentro, baricentro e ortocentro coincidono in un unico punto di simmetria.

Il legame con il triangolo 30-60-90

Ogni triangolo equilatero si divide in sei triangoli 30-60-90 congruenti tramite le sue tre mediane. Il rapporto tra i lati $1 : \sqrt{3} : 2$ spiega perché $\sqrt{3}$ compare in tutte le formule del triangolo equilatero.

Dimostrazione di R = 2r

Il baricentro coincide con il circocentro e l'incentro. Ogni mediana ha lunghezza $h = a\sqrt{3}/2$ e il baricentro la divide nel rapporto $2:1$ dal vertice:

• Distanza baricentro–vertice: $\tfrac{2}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{3} = R$ ✓
• Distanza baricentro–punto medio del lato: $\tfrac{1}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{6} = r$ ✓
• Quindi $R = 2r$ ✓