Calcolatore dei numeri di Fibonacci

Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Cosa calcola questo strumento

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, con valori iniziali F(0) = 0 e F(1) = 1. Il calcolatore calcola F(n) per qualsiasi indice da 0 a 70 e restituisce anche F(n−1), il rapporto F(n)/F(n−1) — che converge verso la sezione aurea — e la successione completa da F(0) a F(n).

Successione di Fibonacci

La successione comincia con 0 e 1; ogni termine successivo è la somma dei due precedenti:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Formalmente: F(0) = 0, F(1) = 1 e F(n) = F(n−1) + F(n−2) per n ≥ 2.

Il nome viene dal matematico italiano Leonardo da Pisa (c. 1170–1250), noto come Fibonacci, che la impiegò nel 1202 nel Liber Abaci per modellare la crescita di una popolazione di conigli. La stessa successione era però già stata descritta secoli prima dalla matematica indiana nel contesto della metrica sanscrita.

Come il calcolatore ottiene F(n)

Il calcolatore usa un ciclo iterativo anziché la definizione ricorsiva. Partendo da F(0) = 0 e F(1) = 1, ogni passo somma i due termini precedenti; dopo n − 1 addizioni si ottiene F(n). Il tempo di esecuzione è O(n) e si evita l'esplosione esponenziale della ricorsione ingenua.

L'indice massimo supportato è n = 70, perché F(70) = 190.392.490.709.135 è il più grande numero di Fibonacci rappresentabile esattamente in un numero in virgola mobile IEEE 754 a 64 bit. Per n ≥ 71 i valori superano il limite degli interi sicuri 2⁵³, e gli arrotondamenti altererebbero il risultato.

Esempio di calcolo

Ingresso: n = 12

n	F(n)
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144

Risultato: F(12) = 144, F(11) = 89, rapporto = 144/89 ≈ 1,61797753.

Vale la pena notare che 144 = 12² è un quadrato perfetto. Insieme a 0 e 1, è l'unico numero di Fibonacci che sia anche un quadrato perfetto (teorema di Ljunggren).

Il legame con la sezione aurea

All'aumentare di n, il rapporto F(n) / F(n−1) converge verso la sezione aurea:

$\varphi = (1 + \sqrt{5}) / 2 \approx 1{,}6180339887\ldots$

n	F(n)	F(n)/F(n−1)
5	5	1,66667
10	55	1,61765
20	6.765	1,61803
30	832.040	1,61803399

Con n = 20 il rapporto già coincide con φ fino alla sesta cifra decimale. La sezione aurea compare in geometria (rapporto tra diagonale e lato del pentagono regolare), nell'architettura classica greca, nell'arte rinascimentale e nelle strutture a spirale dei semi di girasole e delle pigne.

La formula di Binet

La formula di Binet esprime F(n) direttamente, senza iterazione:

$F(n) = (\varphi^n - \psi^n) / \sqrt{5}$

dove $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1{,}61803$ è la sezione aurea e $\psi = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0{,}61803$ è il suo coniugato.

Poiché |ψ| < 1, il termine ψⁿ tende a zero al crescere di n. Per n ≥ 1, F(n) è quindi semplicemente l'intero più vicino a $\varphi^n / \sqrt{5}$. Elegante in teoria, la formula si basa sull'aritmetica in virgola mobile e perde precisione per n grandi — ecco perché questo calcolatore usa il metodo iterativo.

La successione di Fibonacci in natura e nella scienza

La successione compare in ambiti diversi:

• Botanica: Molti fiori hanno petali in numero di Fibonacci — spesso 3, 5, 8 o 13. I capitoli di girasole mostrano tipicamente 34 e 55 file di spirali in senso opposto.
• Fillotassi: Foglie e rami crescono spesso secondo angoli correlati a φ, massimizzando la captazione di luce solare.
• Informatica: Gli heap di Fibonacci, una struttura dati usata negli algoritmi su grafi, devono il nome a questa successione. Il calcolo ricorsivo ingenuo di F(n) è l'esempio classico di complessità esponenziale nell'insegnamento degli algoritmi.
• Analisi tecnica: I livelli di ritracciamento di Fibonacci (23,6%, 38,2%, 61,8%) — derivati dai rapporti tra termini consecutivi — sono ampiamente usati in borsa e sul forex, anche se il loro valore predittivo è dibattuto.

Domande frequenti (FAQ)

Cos'è la successione di Fibonacci?

La successione di Fibonacci è una serie di numeri in cui ogni termine è la somma dei due precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Formalmente, F(0) = 0, F(1) = 1 e F(n) = F(n−1) + F(n−2) per n ≥ 2.

Il nome viene dal matematico italiano Leonardo da Pisa (Fibonacci, c. 1170–1250), che la utilizzò nel 1202 nel Liber Abaci per modellare la crescita di una popolazione di conigli; tuttavia, matematici indiani avevano descritto la stessa successione secoli prima nel contesto della metrica sanscrita.

Che legame c'è tra la successione di Fibonacci e la sezione aurea?

Man mano che n cresce, il rapporto tra termini consecutivi F(n) / F(n−1) converge verso la sezione aurea φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887. Con n = 10 il rapporto vale già 1,61765; con n = 20 coincide con φ fino alla sesta cifra decimale. Questa connessione emerge in geometria (rapporto tra diagonale e lato del pentagono regolare), nell'arte e in natura — ad esempio nelle spirali dei semi di girasole.

A cosa serve la formula di Binet?

La formula di Binet calcola F(n) direttamente, senza iterazione: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, dove φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,61803 è la sezione aurea e ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,61803 è il suo coniugato. Poiché |ψ| < 1, il termine ψⁿ tende a zero, quindi F(n) è semplicemente l'intero più vicino a φⁿ / √5. Pur essendo elegante, la formula si basa sull'aritmetica in virgola mobile e perde precisione per n grandi; per questo il calcolatore usa il metodo iterativo.

Fino a quale valore di n funziona questo calcolatore?

Il calcolatore supporta n da 0 a 70. F(70) = 190.392.490.709.135 è il più grande numero di Fibonacci rappresentabile esattamente in un double a 64 bit (IEEE 754). Da F(71) in poi i valori superano il limite degli interi sicuri 2⁵³ = 9.007.199.254.740.992, e gli arrotondamenti comprometterebbero il risultato.