Calcolatore di Triangolo Isoscele

Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Il triangolo isoscele

Un triangolo isoscele ha due lati uguali, detti lati obliqui (lunghezza $a$), e un terzo lato detto base (lunghezza $b$). Gli angoli agli estremi della base — gli angoli alla base $\beta$ — sono uguali tra loro, mentre l'angolo compreso tra i due lati uguali è l'angolo al vertice $\theta$. Questa simmetria fa sì che bastino due misure indipendenti per determinare completamente il triangolo: lato e base oppure lato e angolo al vertice. In entrambi i casi è possibile ricavare altezza, area, perimetro, raggio del cerchio circoscritto e raggio del cerchio inscritto.

Modalità 1: dal lato e dalla base

Si abbassa la perpendicolare dal vertice alla base; per simmetria, il piede cade esattamente nel punto medio, formando due triangoli rettangoli congruenti con ipotenusa $a$ e cateto $b/2$.

Altezza: $h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

Area: $S = \frac{b \cdot h}{2}$

Angolo alla base: nel triangolo rettangolo, $\cos\beta = \tfrac{b/2}{a} = \tfrac{b}{2a}$, quindi: $\beta = \arccos\!\frac{b}{2a}$

Angolo al vertice: $\theta = 180° - 2\beta$

Esempio numerico — $a = 5$, $b = 6$:

$h = \sqrt{25 - 9} = 4, \quad S = \frac{6 \times 4}{2} = 12$

$\beta = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°, \quad \theta = 180° - 106{,}26° = 73{,}74°$

Modalità 2: dal lato e dall'angolo al vertice

Noti $a$ e $\theta$, l'angolo al vertice viene diviso a metà: ogni semitriangolo ha mezzo angolo $\theta/2$.

Base: $b = 2a\sin\!\frac{\theta}{2}$

Altezza: $h = a\cos\!\frac{\theta}{2}$

Area (formula LAL): $S = \frac{1}{2}\,a^2\sin\theta$

Esempio numerico — $a = 5$, $\theta = 40°$:

$b = 2 \times 5 \times \sin 20° \approx 3{,}4202, \quad h = 5 \cos 20° \approx 4{,}6985$

$S = \frac{1}{2} \times 25 \times \sin 40° \approx 8{,}0348$

Raggio del cerchio circoscritto e inscritto

Raggio del cerchio circoscritto: $R = \frac{a^2 b}{4S}$

Raggio del cerchio inscritto (con semiperimetro $s = (2a + b)/2$): $r = \frac{S}{s}$

Casi particolari

Configurazione	Angolo al vertice θ	Note
Equilatero	60°	Tutti e tre i lati uguali
Isoscele rettangolo	90°	Base $= a\sqrt{2}$

Quando $a = b$, il triangolo è equilatero. Se $b \geq 2a$, la disuguaglianza triangolare non è soddisfatta e il triangolo non esiste.

Domande frequenti (FAQ)

Come si calcola l'altezza di un triangolo isoscele?

Si traccia la perpendicolare dal vertice alla base. Per simmetria, il piede cade esattamente nel punto medio della base, formando due triangoli rettangoli congruenti con ipotenusa a e cateto b/2. Il teorema di Pitagora fornisce h² = a² − (b/2)², cioè h = √(a² − b²/4). Esempio: a = 5, b = 6 → h = √(25 − 9) = √16 = 4.

Come si calcola l'area di un triangolo isoscele dai lati?

Nota l'altezza h = √(a² − b²/4), l'area è S = b × h ÷ 2 = (b ÷ 2) × √(a² − b²/4). Per a = 5, b = 6: h = 4, quindi S = 6 × 4 ÷ 2 = 12. Se si conosce l'angolo al vertice θ, si può usare direttamente la formula LAL: S = ½ × a² × sin θ.

Come si trovano gli angoli di un triangolo isoscele dati i lati?

L'angolo alla base β soddisfa cos β = (b ÷ 2) ÷ a = b ÷ (2a), quindi β = arccos(b ÷ (2a)). L'angolo al vertice è θ = 180° − 2β. Esempio: a = 5, b = 6 → β = arccos(0,6) ≈ 53,13°, θ = 180° − 106,26° = 73,74°.

Qual è la differenza tra triangolo isoscele ed equilatero?

Un triangolo isoscele ha almeno due lati uguali; uno equilatero ha tutti e tre i lati uguali. Ogni triangolo equilatero è isoscele, ma non viceversa. Il triangolo equilatero è il caso speciale dell'isoscele in cui l'angolo al vertice è 60° e la base è uguale al lato obliquo.